tb-1L. NelsonH. Czolbe    
 
ERNST CASSIRER
Substanzbegriff und Funktionsbegriff
- Die Zahlbegriffe -
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"Eine anders geartete Wirklichkeit, eine neue physische Umgebung, in die wir hineinversetzt würden, könnte uns den Satz, daß 2 x 2 = 5 ist, ebenso geläufig und selbstverständlich machen, als er uns jetzt unbegreiflich und widersinnig erscheint."

"Es wäre in der Tat wunderbar," - so bemerkt Frege in seiner drastischen und treffenden Kritik der millschen Lehre - "wenn eine von äußeren Dingen abstrahierte Eigenschaft auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf Begriffe ohne Änderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre gerade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignis, einer blauen Vorstellung, einem salzigen Begriff, einem zähen Urteil reden wollte."

"Der Akt der Zählung gibt nicht die Verhältnisse der Dinge an sich selbst, sondern nur die Art wieder, wie sie sich in der Auffassung durch unser Ich reflektieren."

"Die Funktion der 'Zahl ist ihrer Bedeutung nach unabhängig von der inhaltlichen Verschiedenheit der 'Gegenstände, die gezählt werden' können; diese Verschiedenheit kann und muß daher außer acht bleiben, wenn es sich darum handelt, lediglich die Bestimmtheit dieser Funktion zu entwickeln. Hier wirkt daher die Abstraktion in der Tat als eine Befreiung: sie bezeichnet die logische 'Konzentration auf den Relationszusammenhang als solchen unter Abweisung aller psychologischen Nebenumstände, die sich im subjektiven Vorstellungsverlauf herandrängen mögen, die aber kein sachlich-konstitutives Moment dieses Zusammenhanges bilden."

"Wir erschaffen dadurch ein neues "objektives" Gebilde, das in seiner Struktur von aller Willkür unabhängig ist: aber unkritische Naivität wäre es, den 'Gegenstand, der auf diese Weise entsteht, mit den sinnlich wirklichen und wirksamen Dingen zu verwechseln. Diesem Gegenstand können wir nicht empirisch seine "Eigenschaften" ablesen und wir bedürfen dessen nicht, da er in all seiner Bestimmtheit vor uns steht, sobald wir einmal die Relation, aus der er erwächst, in ihrer Reinheit ergriffen haben."

I.

Unter den Grundbegriffen der reinen Wissenschaft steht der Begriff der Zahl historisch wie systematisch an erster Stelle. An ihm entwickelt sich zuerst das Bewußtsein vom Wert und der Bedeutung der Begriffsbildung überhaupt. Im Gedanken der Zahl scheint ale Kraft des Wissens, alle Möglichkeit der logischen Bestimmung des Sinnlichen beschlossen. Nichts von den Dingen wäre erfaßbar, weder in ihrem Verhältnis zu sich selbst, noch zu anderen, wenn die Zahl nicht wäre und ihr Wesen. Dieser pythagoreische Satz bleibt durch alle Wandlungen der philosophischen Fragestellung hindurch seinem eigentlichen Gehalt nach unverändert. Der Anspruch, in der Zahl die Substanz der  Dinge  zu erfassen, tritt freilich allmählich zurück; aber zugleich vertieft und verschärft sich die Einsicht, daß in ihr die Substanz der rationalen Erkenntnis wurzelt. Auch nachdem man aufgehört hat, in ihm den metaphysischen Kern der Objekte zu sehen, bleibt der Zahlbegriff noch immer der nächste und getreueste Ausdruck der rationalen Methodik überhaupt. In ihm spiegeln sich daher die prinzipiellen Gegensätze in der Grundauffassung der Erkenntnis unmittelbar wider. Das allgemeine Ideal des Erkennens erhält hier eine bestimmtere Formung, in welcher es sich nunmehr erst in voller Klarheit heraushebt und abgrenzt.

So ist es verständlich, wenn uns sogleich an der Schwelle der Algebra derselbe typische Widerstreit entgegentritt, der sich innerhalb des Gebietes der  Logik  verfolgen ließ. Folgen wir der herkömmlichen logischen Ansicht, so muß erwartet werden, daß es bestimmte Grundeigenschaften der Objekte sind, die sich uns in den Zahlbegriffen offenbaren. Die Theorie der "Abstraktion" verfügt, streng genommen, über keinen anderen Gesichtspunkt: wie die Gegenstände sich nach Größe und Gestalt, nach Geruch und Geschmack unterscheiden, so müssen sie, ihr zufolge, auch eine bestimmte Beschaffenheit an sich tragen, die ihnen ihren Zahlcharakter aufprägt. Der Begriff der "Zwei" oder der "Drei" wäre somit aus einer Mehrheit gegenständlicher Gruppen in derselben Weise abgesondert, wie der Begriff einer bestimmten Farbe aus der Vergleichung der farbigen Wahrnehmungsdinge entspringt. Es ist folgerecht, wenn auf diesem Standpunkt der Betrachtung alle Aussagen über Zahlen und Zahlenverhältnisse als der Ausdruck bestimmter physischer Eigenschaften der Objekte angesehen werden. In der modernen Entwicklung des Empirismus ist diese latente Konsequenz zuerst in voller Schärfe zutage getreten. So stellt der Satz, daß 2 + 1 = 3 ist, nach JOHN STUART MILL, keine bloße Definition, keine bloße Fixierung des Sinnes dar, den wir mit dem Begriff der Zwei und der Drei zu verbinden haben: sondern er berichtet von einem empirischen Tatbestand, den unsere räumliche Wahrnehmung uns bisher stets in derselben Weise dargeboten hat. Immer ist es uns gelungen, sobald wir drei Dinge in einer bestimmten Anordnung - etwa in der Form o ° o - vor uns sahen, sie in Teilgruppen von der Art oo, o zu zerlegen. Drei Kieselsteine machen, wenn sie in zwei getrennten Haufen vor uns liegen, auf unsere Sinne nicht denselben Eindruck, als wenn sie zu  einem  Haufen vereinigt sind: - die Behauptung, daß das Wahrnehmungsbild, das im ersten Fall entsteht, sich durch eine bloße räumliche Umordnung seiner Teile stets in das zweite Wahrnehmungsbild überführen läßt, ist daher keineswegs ein nichtssagender  identischer  Satz, sondern eine induktive Wahrheit, die uns durch frühere Erfahrung bekannt geworden und seither beständig befestigt worden ist. Solche Wahrheiten bilden die Grundlage der Wissenschaft von der Zahl. Der Schein der  Idealität , der dieser Wissenschaft anhaftet, muß daher schwinden. Die Sätze der Arithmetik verlieren ihre bisherige Ausnahmestellung: sie rücken auf die gleiche Linie mit sonstigen physikalischen Beobachtungen, die wir über Trennungen und Zusammensetzungen innerhalb der Körperwelt gemacht haben. Denn wie könnte es auch sinnvolle und gültige  Urteile  geben, die sich nicht auf sinnfällige Tatsachen bezögen? Der Begriff der Zehn bedeutet entweder nichts oder er bezeichnet einen bestimmten gleichbleibenden Totaleindruck, der sich immer wieder an Gruppen von zehn Körpern, zehn Tönen, zehn Pulsschlägen wiederfindet. Und daß die verschiedenartigen Eindrücke, die wir auf diese Weise aus der Betrachtung der Gegenstände gewinnen, unter sich ein  System  bilden, in welchem gewisse konstante Beziehungen obwalten, ist ebenfalls ein Satz, der lediglich empirische Gewißheit besitzt: eine anders geartete Wirklichkeit, eine neue physische Umgebung, in die wir hineinversetzt würden, könnte uns den Satz, daß 2 x 2 = 5 ist, ebenso geläufig und selbstverständlich machen, als er uns jetzt unbegreiflich und widersinnig erscheint. (1)

Schon hier beim ersten Schritt in das Gebiet der exakten wissenschaftlichen Probleme zeigt es sich in voller Deutlichkeit, welche sachliche Bedeutung und Tragweite scheinbar bloß formellen logischen Differenzen innezuwohnen vermag. Denn wie immer man MILLs Theorie der arithmetischen Grundprinzipien beurteilen mag: das eine ist anzuerkennen, daß sie mit zwingender Notwendigkeit aus seiner allgemeinen Auffassung des Begriffs hergeleitet ist. Um so bezeichnender ist es, daß diese erste Durchführung des Gedankens alsbald zu einem unmittelbaren Widerstreit gegen das  Faktum  der wissenschaftlichen Arithmetik selbst hinführt. Wo immer in der neueren Mathematik versucht wurde, dieses Faktum zu zergliedern und zu begründen, da mußte man es zunächst vom Trugbild unterscheiden, das hier gezeichnet ist; - da mußte man die logische Struktur der reinen Zahlenlehre mit aller Energie und Schärfe von der MILLschen Arithmetik der "Kieselsteine und Pfeffernüsse" absondern. In der Tat wäre, wenn MILLs Ableitung zu Recht bestände, damit den arithmetischen Begriffen gerade jene  Bestimmtheit  geraubt, die ihren eigentlichen Wert und Gehalt ausmacht. Der logische Unterschied von Zahlen wäre begrenzt und gebunden durch die psychologische Unterscheidungsfähigkeit, die wir in der Auffassung gegebener Mengen von Objekt erlangt haben. Daß diese Folgerung einen Widersinn in sich schließt, läßt sich indessen leicht erkennen. Die  Zahl 753684  ist von der ihr unmittelbar vorausgehenden oder folgenden  Zahl  ebenso bestimmt und deutlich unterschieden, wie es die Drei von der Zwei oder der Vier ist; aber wer vermöchte den "Eindruck" aufzuweisen, der die Anschauung der entsprechenden konkreten Mengen voneinander scheidet? Und wie hier der charakteristische Inhalt der Zahlbegriffe verloren geht, so verlieren sie auf der anderen Seite die Weite und Freiheit der Anwendung, die ihnen wesentlich ist. Die Synthesis des Zählens kann sich nach MILL nur dort betätigen, wo die Verknüpfung oder Trennung, die sie setzt, an den physischen Objekten  tatsächlich ausführbar  ist; wo die Dinge selbst sich in sinnlich-räumlich Gruppen zusammenfassen und auseinanderlegen lassen. Die wechselnden Bilder, die von den verschiedenen Gruppen in uns entstehen, bilden das eigentliche und unentbehrliche Substrat aller Aussagen über Zahlenverhältnisse. Außerhalb des Gebietes der räumlichen Anschauung, in welchem diese aktuellen Verbindungen und Trennungen allein möglich sind, wäre somit den Zahlbegriffen ihr eigentliches Fundament entzogen. In Wahrheit sprechen wir indessen nicht nur von der Zahl der Körner eines Haufens, sondern auch von der Zahl der Kategorien, von der Zahl der keplerschen Gesetze oder von der Zal der Energiefaktoren: alles Gegenstände, die sich nicht gleich Kieselsteinen an- und auseinanderlegen lassen. "Es wäre in der Tat wunderbar," - so bemerkt FREGE in seiner drastischen und treffenden Kritik der millschen Lehre - "wenn eine von äußeren Dingen abstrahierte Eigenschaft auf Ereignisse, auf Vorstellungen, auf Begriffe ohne Änderung des Sinnes übertragen werden könnte. Es wäre gerade so, als ob man von einem schmelzbaren Ereignis, einer blauen Vorstellung, einem salzigen Begriff, einem zähen Urteil reden wollte. Es ist ungereimt, daß am Unsinnlichen vorkomme, was seiner Natur sinnlich ist. Wenn wir eine blaue Fläche sehen, so haben wir einen eigentümlichen Eindruck, der dem Wort "blau" entspricht; und diesen erkennen wir wieder, wenn wir eine andere blaue Fläche erblicken. Wollten wir annehmen, daß in derselben Weise beim Anblick eines Dreiecks etwas Sinnliches dem Wort "Drei" entspräche, so müßten wir dies auch in drei Begriffen wiederfinden; entwas Unsinnliches würde etwas Sinnliches an sich haben. Man kann wohl zugeben, daß dem Wort  dreieckig  eine Art sinnlicher Eindrücke entspreche, aber man muß dabei das Wort als Ganzes nehmen. Die Drei darin sehen wir nicht unmittelbar, sondern wie sehen etwas, woran eine geistige Tätigkeit anknüpfen kann, welche zu einem Urteil führt, in dem die Zahl 3 vorkommt. (2)

Wenn die Absurditäten, in die die sensualistische Auffassung der Zahlbegriffe zuletzt unaufhaltsam verwickelt, nicht sogleich in der ersten Ableitung unmittelbar zutage treten, so liegt der Grund hierfür darin, daß diese geistigen Tätigkeiten, diese Leistungen des  Urteils  auch hier nicht gänzlich ausgeschaltet, sondern stillschweigend geduldet werden. Nur die ersten Wahrheiten der Arithmetik, nur die elementarsten Formeln wollen das Ergebnis unmittelbarer Beobachtung physischer Tatbestände sein, während die wissenschaftliche Form der Algebra nicht auf dem stets erneuten Zufluß von Wahrnehmungstatschen, sondern auf der "Verallgemeinerung" des primitiven sinnlichen Grundbestandes beruhen soll. Dieser Begriff aber schließt wiederum alle Rätsel ein, für die die Theorie eine Lösung versprach. Versucht man, ihm einen scharfen und eindeutigen Sinn zu geben, so müßte er sich alsbald in eine Mehrheit unterschiedener  intellektueller Funktionen  zerlegen, die beim Aufbau des Zahlenreiches beteiligt sind. Wenn es möglich sein soll, Beobachtungen, die wir an kleineren Komplexen von Objekten gemacht haben, fortschreitend auf größere und immer größere zu übertragen und die "Eigenschaften" der folgenden nach Analogie der früheren zu bestimmen: so setzt das voraus, daß zwischen den verglichenen Fällen irgendeine Form der  Beziehung  und der  Abhängigkeit  besteht, kraft deren der eine aus dem andern ableitbar ist. Wir hätten nicht das Recht, irgendeine Bestimmung, die uns an einer individuellen Menge entgegengetreten ist, auf Mengen von mehr oder weniger Elementen auszudehnen, wenn wir sie nicht sämtlich als ihrer "Natur" nach  gleichartig  begriffen: diese Gleichartigkeit aber besagt nichts anderes, als daß sie durch eine eindeutige  Regel  miteinander verknüpft sind, die es gestattet, in fortgesetzter  identischer Anwendung derselben Grundrelation  von der einen Mannigfaltigkeit zur anderen zu gelangen. Ohne die Annahme eines derartigen Zusammenhangs müßten wir in der Tat darauf gefaßt sein, daß jede Einheit, die wir zu einer gegebenen Menge hinzufügen oder die wir von ihr wegnehmen, die gesamte Beschaffenheit der Menge derart ändert, daß vom Verhalten der einen kein Schluß auf irgendeine andere mehr zulässig wäre. Die neuen Einheiten würden alsdann wie ebensoviele besondere  physische  Umstände oder Kräfte wirken, die das Gesamtbild völlig umgestalten und in seinen Grundzügen aufheben könnten. Kein überall anwendbares Gesetz, keine durchgehende Beziehung würde mehr die Glieder des Zahlenreiches zusammenschließen; vielmehr wäre jeder arithmetische Satz für jede einzelne Zahl  besonders  durch Beobachtung und Wahrnehmung zu erweisen. Die sensualistische Theorie vermag dieser Folgerung nur dadurch zu entgehen, daß sie unvermerkt in eine andere Richtung der Betrachtung abbiegt. Die Forderung der Verallgemeinerung der primitiven Zählerfahrungen enthält wiederum, wenngleich verhüllt, jene Funktion der Allgemeinheit der Zahlbegriffe, die durch die Erklärung beseitigt werden sollte. Der Weg zu einem rein deduktiven Aufbau des Zahlenreiches ist damit wieder frei geworden: es genügt hierfür die Einsicht, daß  dieselben  gedanklichen Verfahrungsweisen, die sich für jede Theorie im Fortschritt zu den höheren arithmetischen Gebilden als unentbehrlich erweisen, bereits in der Bestimmung der Elemente die notwendige und hinreichende Grundlage bilden. In der Konsequenz, der die sensualistische Lehre zuletzt wider Willen unterliegt, bietet sich der erste Ausblick auf eine einheitliche methodische Ableitung, die die Fundamente und den Aufbau, der sich auf sie gründet, aus einem gemeinsamen Prinzip übersieht und gestaltet.

Zuvor indessen scheint sich noch ein anderer Weg darzubieten, die geforderte Beziehung der Zahlaussagen zum empirischen Dasein der Dinge wiederum herzustellen. Versagt die Ansicht, daß alle arithmetischen Urteile auf  physische  Gegenstände gehen und in ihrer Geltung an sie geknüpft bleiben: so bleibt dennoch eine  andere Klasse von Wirklichkeiten  zurück, in denen wir nunmehr erst das wahrhafte Urbild der Zahlbegriffe zu erfassen scheinen. Nicht die Außendinge, sondern das "Bewußtsein" selbst in seiner eigentümlichen und ursprünglichen Daseinsweise bildet den Quell dieser Begriffe; nicht ein materielles, sondern ein  geistiges  Sein ist es, das sie umspannen und darstellen wollen. Die ganze Weite und Allgemeinheit des Zahlbegriffs scheint sich ihm hier aufs neue zu erschließen. Als  Vorstellung , als  psychische Wirklichkeit  bleibt die Zahl von all den Beschränkungen frei, die ihr auferlegt werden mußten, solange sie noch als Ausdruck stofflicher Sonderexistenzen und ihrer Verhältnisse galt. Man erkennt, wie sich hier an einem Sonderproblem dieselbe gedankliche Wendung wiederholt, die uns früher innerhalb der allgemeinen logischen Theorie entgegentrat. Der Begriff verzichtet darauf, unmittelbar die äußere Realität in ihrem absoluten Sein nachzubilden; aber anstelle dieser Realität tritt ihre Erscheinungsform in unserem Geist. Der Akt der Zählung gibt nicht die Verhältnisse der Dinge an sich selbst, sondern nur die Art wieder, wie sie sich in der Auffassung durch unser Ich reflektieren.

Aber auch in dieser Umformung bleibt, so sehr sie das Problem weiterführt, zunächst noch ein Moment zurück, das sie mit der sensualistischen Ableitung teilt. Die Zahlenlehre gelangt auch jetzt nicht zu  selbständiger  logischer Begründung; sondern sie bildet, wie sie zuvor als Spezialfall der Physik erschien, nunmehr einen Anhang zur  Psychologie  (vgl. oben) Für die Psychologie indessen bedeutet die "Vorstellung" zuletzt nichts anderes, als einen bestimmten seelischen Inhalt, der in den Einzelsubjekten je nach besonderen Umständen entsteht und auf dieselbe Weise wiederum vernichtet wird: einen Inhalt, der in verschiedenen Individuen verschieden ist und der auch für ein und dasselbe Subjekt, nachdem er einmal verschwunden, niemals in völlig gleichförmiger Art wiederkehrt. Was hier gegeben ist, ist somit immer nur eine  zeitlich begrenzte und determinierende Wirklichkeit,  nicht aber ein Bestand, der sich in unveränderlicher logischer Identität festhalten ließe. In der Erfüllung eben dieser letzteren Forderung aber besteht aller Sinn und aller Wert der reinen Zahlbegriffe. Der Satz, daß 7 + 5 = 12 ist, berichtet von keiner Verkettung von Vorstellungserlebnissen, wie sie sich in denkenden Individuen bisher abgespielt haben oder auch künftig ausnahmslos abspielen werden; sondern er stellt einen Zusammenhang fest, der nach dem platonischen Ausdruck, die Sieben und Fünf "ansich" mit der Zwölf "ansich" verbindet. Der Gegenstand, auf den sich dieses Urteil richtet, besitzt bei all seiner Idealität eine völlig eindeutige  Bestimmtheit,  die ihn von den wandelbaren Inhalten der Vorstellung streng unterscheidet. Das psychologische  Bild  der Zwei mag sich bei dem einen mit räumlichen Nebenvorstellungen verbinden, bei dem anderen von ihnen frei sein; es mag jetzt lebhafter, jetzt matter erfaßt werden: - so wird doch durch all diese Differenzen die  arithmetische Bedeutung  der Zwei nicht berührt. (3) Was ein Begriff "ist" und bedeutet: das kann nicht anders ermittelt werden als dadurch, daß wir ihn als Träger und Ausgangspunkt bestimmter Urteile, als Inbegriff möglicher Relationen auffassen. Begriffe sind identisch, wenn sie sich in allen Aussagen, in welche sie eingehen, durch einander ersetzen lassen; wenn jede Beziehung, die von dem einen gilt, auch auf den anderen übertragbar ist. Wendet man indessen dieses Kriterium an, so tritt sogleich die ganze Divergenz zwischen dem logischen Gehalt des Zahlbegriffs und dem psychologischen Begriff der Vorstellung hervor. Die charatkeristischen Grundrelationen, die in der Zahlenreihe obwalten, sind als Eigenschaften an gegebenen Vorstellungsinhalten nicht denkbar. Es hat keinen Sinn, von einer "Vorstellung" zu sagen, daß sie größer oder kleiner als eine andere, daß sie das Doppelte oder Dreifache von ihr, daß sie durch eine andere teilbar sei usw. Und nicht minder weist die Forderung der  Unendlichkeit  der Anzahlen über jede derartige Auffassung hinaus: denn alles "Sein" der Vorstellung geht in ihrem unmittelbaren Gegebensein, in ihrem tatsächlichen Vollzug auf. Sind die Zahlen Wirklichkeiten im individuellen Bewußtsein, so können sie nur in endlicher Menge "vorhanden", d. h. in diesem Bewußtsein als gesonderte Elemente realisiert sein.

Indessen scheint diese Kritik in dem Gegensatz, den sie zwischen den reinen Zahlbegriffen und den psychologischen Vorstellungsinhalten feststellt, das Gebiet des psychischen Daseins selbst nicht nach seiner vollen Bedeutung und Weite ergriffen zu haben. Das Charakteristische der Zahl - so ließe sich mit Recht einwenden - läßt sich nur deshalb nicht in irgendeinem besonderen und isolierten Bewußtseinsinhalt aufzeigen, weil hier eine allgemeine Voraussetzung vorliegt, die die  Entstehung  und  Bildung  von Inhalten überhaupt beherrscht und leitet. Der Akt, durch den wir irgendeine Einheit abgrenzen und die Synthese, in der wir derartige Einheiten zu neuen Gebilden zusammenfassen, bilden die Bedingung, unter der allein von einer Mannigfaltigkeit von Elementen und ihrem Zusammenhang die Rede sein kann. Die  Tätigkeit  der Unterscheidung und Verknüpfung, nicht irgendein besonderer Inhalt, der aus ihr erst nachträglich resultiert, kann daher allein das gesuchte psychologische Korrelat der Zahlbegriffe sein. Nicht  Objekte,  sei es der äußeren oder der inneren Wirklichkeit, sondern  Akte der Apperzeption  sind es, an welche die Zahlbestimmung anknüpft und auf die ihr eigentlicher Sinn zurückgeht. Die "Allgemeinheit", die den reinen Zahlbegriffen eignet, läßt sich von hier aus in einer neuen Richtung verstehen und begründen. Auch der Sensualismus erkennt diese Allgemeinheit an; - aber er faßt sie seiner Grundansicht gemäß wie ein dingliches Merkmal, das sich gleichmäßig über einen Kreis von besonderen Objekten verbreitet. "Alle Zahlen", so heißt es bei MILL, "müssen Zahlen von Etwas sein und es gibt nichts dergleichen, wie eine abstrakte Zahl. Aber obwohl immer Zahlen von Etwas, können sie nichtsdestoweniger Zahlen von jedem Beliebigen sein. Sätze über Zahlen haben daher die bemerkenswerte Eigentümlichkeit, daß sie sämtliche Dinge überhaupt betreffen, sofern sie auf alle Gegenstände und alle Arten der Existenz gehen, die uns durch Erfahrung bekannt sind." (4) Die mathematische Eigenschaft der Zählbarkeit der Dinge wird also hier in derselben Weise wie irgendeine physische Eigenschaft ermittelt: wie wir in durchgängiger Vergleichung der Einzelfälle lernen, daß alle Körper schwer sind, so finden wir mittels einer analogen Methode die zahlenmäßige Bestimmtheit an ihnen vor. Man erkennt indessen, daß die Behauptung der Universalität der Zahl, sofern sie sich auf ein derartiges Verfahren gründet, in Wahrheit erschlichen ist: denn nichts verbürgt uns, daß diejenigen Fälle, die sich unserer Erfahrung entzogen haben, die gleiche Eigenschaft wie die tatsächlich beobachteten aufweisen und sich somit den arithmetischen Gesetzen fügen. Erst die tiefere und reifere psychologische Ableitung der Zahlbegriffe aus dem Grundakt der apperzeptiven Verknüpfung und Sonderung überhaupt gewinnt hier einen neuen Gesichtspunkt der Begründung. Für sie heißt die Zahl allgemein, nicht weil sie als fertiger Bestandteil in jedwedem Einzelnen  enthalten  ist, sondern weil sie eine  konstante Bedingung  für die  Beurteilung  jedes Einzelnen, als eines solchen, darstellt. Das Bewußtsein dieser Allgemeinheit wird nicht durch das Durchlaufen einer unbestimmten Mehrheit von Fällen erworben, sondern ist bereits in der Erfassung jedes einzelnen von ihnen vorausgesetzt: denn die Zuordnung dieses Einzelnen zu einem umfassenden Ganzen ist nur dadurch möglich, daß der Gedanke imstande ist, eine Regel, deren er sich einmal versichert hat, gegenüber allen Verschiedenheiten und Besonderungen ihrer Anwendung, wiederzuerkennen und in begrifflicher  Identität  festzuhalten.

Auch in diesem Ableitungsversuch, der von den fertigen Vorstellungsinhalten  zu den  Akten  zurückgeht, aus denen sie sich bilden, wird indessen das eigentliche logische Problem der Zahl nicht sowohl gelöst, als vielmehr nur um einen Schritt zurückgeschoben. Denn welchen konstruktiven Wert man den reinen Denkakten immer beilegen mag, so bleiben sie doch, in ihrem rein psychologischen Sinn genommen, stets  Geschehnisse,  die in der Zeit kommen und gehen. Auch sie gehören somit einem bestimmten individuellen Bewußtseinsverlauf an, wie er hier und jetzt unter den besonderen Bedingungen des jeweiligen Moments vonstatten geht. Damit aber wiederholgt sich die frühere Frage. Nicht zeitlich begrenzte Wirklichkeiten sind es, deren Verhältnis in den arithmetischen Urteilen ausgesprochen und festgestellt wird, sondern über das gesamte Gebiet des Denkgeschehens hinaus greift hier der Gedanke zu einem Bereich idealer Gegenstände über, denen er eine dauernde und unveränderliche Grundform zuerkennt. Diese Grundform ist es, kraft deren jegliches Element der Zahlenreihe mit jedem anderen nach ein für allemal feststehenden systematischen Regeln zusammenhängt. Wie die Eins sich mit der Zwei, die Zwei mit der Drei verknüpft usw. und wie gemäß dieser Verknüpfung jener gesamte logische Komplex von Sätzen entsteht, die in der reinen Arithmetik vorliegen: dies wird nicht durch eine psychologische Zergliederung der Akte der Vorstellungsbildung ermittelt. Der Aufbau und die objektive  Begründung  dieses System-Zusammenhangs gehört einer völlig anderen Methode an. Diese Methode ist freilich zunächst eine bloße  Forderung,  deren Erfüllung noch durchaus problematisch erscheinen muß. Denn welches Mittel der Begründung bleibt uns für einen Begriff, wenn wir ihn weder als Abbild einer äußeren, noch einer inneren, weder als physisches, noch als psychisches Sein fassen wollen? Indessen ist die Frage, die sich unwillkürlich stets aufs neue vordrängt, doch nur der Ausdruck einer bestimmten dogmatischen Ansicht vom Wesen und von der Leistung des Begriffs. Nicht nach dieser Grundansicht läßt sich das System der arithmetischen Begriffe und Sätze abschätzen, sondern umgekehrt findet die formal-logische Betrachtung hier eine Schranke und einen Maßstab an eben diesem System, das sich aus selbständigen inhaltlichen Voraussetzungen entwickelt und allmählich festgestellt hat.


II.

Die Entwicklung, die die wissenschaftliche Arithmetik in den letzten Jahrzehnten genommen hat, ist dadurch charakterisiert, daß schärfer, als je zuvor die Forderung hervortrat, den Zahlbegriff seinem vollständigen Gehalt nach aus rein logischen Prämissen abzuleiten. Die Wissenschaft des Raumes schien der Anschauung, schien bisweilen selbst der empirischen Wahrnehmung anheinfallen zu sollen: um so energischer aber kam nunmehr der Gedanke zur Geltung, daß alle Bestimmungen der Zahl sich ohne jede Berufung auf sinnliche Objekte, ohne jede Anlehnung an konkrete meßbare Größen "durch ein endliches System einfacher Denkschritte" begründen lassen müssen. In dieser Herleitung der Arithmetik aus der Logik aber wird diese selbst bereits in einer neuen Gestalt vorausgesetzt. "Verfolgt man genau," so beginnt DEDEKIND seine Deduktion des Zahlbegriffs, "was wir beim Zählen der Menge oder Anzahl von Dingen tun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit des Geistes geführt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Ding ein Ding entsprechen zu lassen oder ein Ding durch ein Ding abzubilden, ohne welche Fähigkeit überhaupt kein Denken möglich ist. Auf dieser einzigen, auch sonst ganz unentbehrlichen Grundlage muß ... die gesamte Wissenschaft der Zahlen errichtet werden." (5) Hier scheint ganz im Sinne der traditionellen logischen Doktrin von einer Mehrheit von  Dingen  und vom Vermögen des Geistes, sie abzubilden, ausgegangen zu werden -; aber dennoch zeigt es sich bei tieferem Eindringen sogleich, daß die überlieferten Bezeichnungen selbst einen neuen Gehalt und eine neue Bedeutung gewonnen haben. Die "Dinge", von denen in der weiteren Ableitung die Rede ist, werden nicht als selbständige Existenzen vor jeder Beziehung als vorhanden gesetzt, sondern sie erhalten ihren gesamten Bestand, soweit er für den Arithmetiker in Betracht kommt, erst in und mit den Beziehungen, die von ihnen ausgesagt werden. Sie sind  Relationsterme,  die niemals losgelöst, sondern nur in idealer Gemeinschaft miteinander "gegeben" sein können. Und auch das Verfahren der "Abbildung" hat nunmehr eine charakteristische Wandlung erfahren. Denn jetzt handelt es sich nicht mehr darum, eine begriffliche  Kopie  der äußeren Eindrücke zu schaffen, die ihnen in irgendwelchen Einzelzügen entspricht: sondern die Abbildung besagt nichts anderes, als die gedankliche  Zuordnung,  durch die wir übrigens ganz verschiedenartige Elemente zu einer systematischen Einheit verknüpfen. Hier kommt lediglich die Vereinigung von Reihengliedern durch ein Reihenprinzip, nicht ihre Übereinstimmung in irgendeinem sachlichen Teilbestand in Frage. Nachdem durch eine ursprüngliche Setzung ein bestimmter Ausgangspunkt fixiert ist, werden alle weiteren Elemente dadurch gegeben, daß eine Beziehung (R) angegeben wird, die in fortgesetzter Anwendung alle Glieder des Komplexes erzeugt. So entstehen Systeme und Systemgruppen in strenger begrifflicher Gliederung, ohne daß doch ein Element mit dem anderen irgendwie durch sachliche  Ähnlichkeit  verbunden zu sein braucht. Die "Abbildung" schafft kein neues Ding, sondern eine neue notwendige  Ordnung  zwischen Denkschritten und Denkgegenständen.

DEDEKIND hat in seiner Schrift: "Was sind und was sollen die Zahlen" gezeigt, wie aufgrund dieser einfachen Prinzipien der vollständige Aufbau der Arithmetik und die erschöpfende Darstellung ihres wissenschaftlichen Gehalts möglich ist. Wir verfolgen die mathematische Entwicklung dieses Gedankens nicht in ihren Einzelheiten, sondern begnügen uns - da der Zahlbegriff uns hier nicht um seiner selbst willen, sondern nur als  Beispiel  für die Gestaltung der reinen "Funktionalbegriffe" interessiert -, lediglich ihre wesentliche  Tendenz  hervorzuheben. Die Voraussetzungen für die Ableitung des Zahlbegriffs sind in der allgemeinen  Logik der Relationen  gegeben. Betrachten wir das Ganze der möglichen Beziehungen, nach welchen eine Reihe von Denksetzungen gegliedert sein kann, so treten uns hier zunächst gewisse  formale Grundbestimmungen  entgegen, die bestimmten Klassen von Relationen gleichmäßig zukommen und sie von anderen Klassen verschiedener Struktur unterscheiden. Ist etwa irgendeine Beziehung zwischen zwei Gliedern  a  und  b  gegeben, die wir symbolisch durch den Ausdruck  aRb  bezeichnen können, so kann sie zunächst derart beschaffen sein, daß sie in gleicher Weise zwischen  b  und  a  gilt, so daß aus der Geltung von  aRb  auch  bRa  folgt. Wir nennen in diesem Fall die Relation  symmetrisch  und unterschieden sie einerseits von der  nicht-symmetrischen  Beziehung, in der die Geltung von  aRb  die von  bRa  zwar zuläßt, aber nicht notwendig fordert, andererseits von der  asymmetrischen  Beziehung, in der eine derartige Umkehrung nicht möglich ist, als  aRb  und  bRa  nicht miteinander bestehen können. Eine Beziehung heißt weiterhin  transitiv,  wenn daraus, daß sie zwischen je zwei Gliedern,  a  und  b, b  und  c  besteht, ihre Geltung auch für   a  und  c  folgt; sie heißt  nicht-transitiv,  wenn diese Übertragung nicht notwendig und  intransitiv,  wenn sie durch die Natur der betrachteten Beziehung ausgeschlossen ist. (6) Diese Bestimmungen, die im allgemeinen Relations-Kalkül weitreichende Anwendung finden, kommen hier zunächst nur insofern in Betracht, als auf ihnen die schärfere Definition dessen beruht, was wir unter der  Ordnung  eines bestimmten Inbegriffs zu verstehen haben. Es ist in der Tat ein naives Vorurteil, wenn man die Ordnung, die zwischen den Elementen einer Mannigfaltigkeit besteht, wie etwas Selbstverständliches betrachtet, das gleichsam durch das bloße Dasein der Einzelglieder schon unmittelbar gegeben sei. In Wahrheit haftet sie nicht an den Elementen als solchen, sondern an der Reihenrelation, durch die sie verknüpft sind und alle ihre Bestimmtheit und ihre spezifische Eigenart leitet sich aus dieser Reihenrelation her. Die nähere Untersuchung ergibt, daß zuletzt stets irgendeine  transitive  und  asymmetrische  Beziehung erfordert wird, um den Gliedern eines Inbegriffs eine bestimmte Ordnung aufzuprägen. (7) Betrachten wir nunmehr eine Reihe, die ein  erstes  Glied besitzt und für die ein bestimmtes Gesetz des Fortschritts derart festgestellt ist, daß zu jedem Glied ein unmittelbar nachfolgendes gehört, mit dem es durch eine eindeutige, transitive und asymmetrische Beziehung verknüpft ist, die im Ganzen der Reihe überall dieselbe bleibt, so haben wir in einer derartigen "Progression" bereits den eigentlichen Grundtypus aller Gegenstände erfaßt, mit denen die Arithmetik es zu tun hat. Alle Sätze der Arithmetik, alle Operationen, die sie definiert, beziehen sich lediglich auf die allgemeinen Eigenschaften der Progressionen; sie gehen daher niemals unmittelbar auf "Dinge", sondern auf die ordinalen Beziehungen, die zwischen den Elementen bestimmter Inbegriffe obwalten. Die Definitionen der Addition und Subtraktion, der Multiplikation und Division, die Erklärung der positigen und negativen, der ganzen und gebrochenen Zahlen lassen sich rein auf dieser Grundlage - und ohne daß insbesondere auf die Verhältnisse konkreter meßbarer Objekte zurückgegangen würde - entwickeln. Der ganze "Bestand" der Zahlen beruht nach dieser Ableitung auf den Verhältnissen, die sie  in sich selber  aufweisen, nicht auf der Beziehung zu einer äußeren gegenständlichen Wirklichkeit: sie bedürfen keines fremdnen "Substrats", sondern halten und stützen sich wechselseitig, sofern jedem Glied durch das andere die  Stelle im System  eindeutig vorgeschrieben ist. "Wenn man," so definiert DEDEKIND - "bei der Betrachtung eines einfach unendlichen durch eine Abbildung  φ  geordneten Systems  N  von der besonderen Beschaffenheit der Elemente gänzlich absieht, lediglich ihre Unterscheidbarkeit festhält und nur die Beziehungen auffaßt, in die sie durch die ordnende Abbildung  φ  zueinander gesetzt sind, so heißen diese Elemente  natürliche Zahlen  oder  Ordinalzahlen  [natürliche Zahl in einer Reihenfolge, wp] oder auch schlechthin  Zahlen  und das Grundelement 1 heißt die  Grundzahl  der  Zahlenreihe N.  In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem anderen Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nennen. Die Beziehungen oder Gesetze, welche ... in allen geordneten einfach unendlichen Systemen immer dieselben sind, wie auch die den einzelnen Elementen zufällig gegebenen Namen lauten mögen, bilden den nächsten Gegenstan der  Wissenschaft von den Zahlen  oder der  Arithmetik".  (8) Vom logischen Standpunkt aus ist es von besonderem Interesse, daß hier der Begriff und Terminus der "Abstraktion" offenbar in einer neuen Bedeutung verwendet wird. Der Akt der Abstraktion richtet sich nicht auf die Absonderung eines dinglichen Merkmals, sondern er zielt darauf ab, daß wir uns den  Sinn  einer bestimmten Relation unabhängig von allen Einzelfällen der Anwendung rein für sich zum Bewußtsein bringen. Die Funktion der  Zahl  ist ihrer Bedeutung nach unabhängig von der inhaltlichen Verschiedenheit der  Gegenstände, die gezählt werden  können; diese Verschiedenheit kann und muß daher außer acht bleiben, wenn es sich darum handelt, lediglich die Bestimmtheit dieser Funktion zu entwickeln. Hier wirkt daher die Abstraktion in der Tat als eine Befreiung: sie bezeichnet die logische  Konzentration  auf den Relationszusammenhang als solchen unter Abweisung aller psychologischen Nebenumstände, die sich im subjektiven Vorstellungsverlauf herandrängen mögen, die aber kein sachlich-konstitutives Moment dieses Zusammenhanges bilden.

Man hat gegen DEDEKINDs Ableitung bisweilen eingewandt, daß hier für die Zahl im Grunde gar kein unterscheidender  Inhalt  zurückbleibe, der ihre Eigentümlichkeit gegenüber anderen reihenförmig geordneten Gegenständen bezeichnete. Da in ihrer Begriffsbestimmung lediglich die allgemeinen Momente der "Progression" festgehalten sind, so gelte, was hier von der Zahl ausgesagt werde, für jede Progression überhaupt: es sei also einzig die  Reihenform selbst,  (9)nicht dasjenig, was als  Material  in sie eingeht, was hier definiert werde. Sollen die Ordinalzahlen überhaupt etwas sein, so müssen sie - wie es scheint - irgendeine "innerliche" Natur und Beschaffenheit besitzen, so müssen sie sich von anderen Wesenheiten durch irgendein absolutes Merkmal unterscheiden, in der Art, wie Punkte von Augenblicken oder Farben von Tönen verschieden sind. Aber dieser Einwand verkennt das eigentliche Ziel und die Grundtendenz von DEDEKINDs Begriffsbestimmung. Was hier zum Ausdruck kommt, ist eben das, daß es ein Gefüge idealer Gegenstände gibt, deren gesamter Inhalt in ihren gegenseitigen Beziehungen erschöpft ist. Die "Essenz" der Zahlen geht in ihrem Stellenwert auf. (10) Und der Begriff der Stelle selbst muß hier zunächst in größter logischer Allgemeinheit und Weite gefaßt werden. Die Unterscheidbarkeit der Elemente, die zu fordern ist, beruth auf rein begrifflichen, nicht auf sinnlich-anschaulichen Bedingungen. Selbst die Anschauung der reinen  Zeit,  auf die KANT den Zahlbegriff gründet, ist hier zunächst noch nicht erfordert. Wir denken uns die Glieder der Zahlenreihe allerdings als geordnete  Folge;  aber dieser Begriff der Folge enthält nicht von der konkreten Bestimmtheit der zeitlichen Sukzession in sich. Die Drei "folgt" auf die Zwei nicht, wie etwa auf den Blitz der Donner, da beide keine zeitliche Wirklichkeit, sondern lediglich idealen logischen Bestand besitzen. Der Sinn des Folgen beschränkt sich darauf, daß die Zwei sls  Prämisse  in die Begriffsbestimmung der Drei eingeht; daß die Bedeutung des einen Begriffs erst erhellt, wenn die des anderen feststeht. Die niedere Zahl ist der höheren "vorausgesetzt": aber das bezeichnet nicht das physische oder psychologische Früher oder Später, sondern ein reines Verhältnis der begrifflich systematischen Abhängigkeit. Was die "spätere" Stelle kennzeichnet, ist der Umstand, daß sie auf komplexere Weise durch Anwendung der erzeugenden Relation aus der Grundeinheit hervorgeht und somit die Elemente, die ihr vorangehen, als logische Bestandteile und Phasen in sich aufnimmt. So setzt die Zeit - wenn man darunter die konkrete Form des "inneren Sinnes" versteht - zwar die Zahl, aber nicht umgekehrt die Zahl die Zeit voraus. Die Arithmetik kann dann und nur dann als die Wissenschaft der reinen Zeit definiert werden, wenn man zuvor - wie es z. B. HAMILTON tut - aus dem Begriff der Zeit selbst alle inhaltlichen Sonderbestimmungen entfernt und lediglich das Moment der "Ordnung im Fortschritt" festgehalten hat. (11) Gerade das erweist sich nunmehr als der methodische Vorzug der Zahlwissenschaft, daß in ihr das "Was" der Elemente, die einen bestimmten fortschreitenden Zusammenhang bilden, außer Betracht bleibt und lediglich das "Wie" dieses Zusammenhangs berücksichtigt wird. Damit tritt uns zum ersten Mal ein allgemeines Verfahren entgegen, das für die gesamte Begriffsbildung der Mathematik von entscheidender Bedeutung ist. Wo immer ein  System von Bedingungen  gegeben ist, das sich in verschiedenen Inhalten erfüllen kann, da können wir, unbekümmert um die Veränderlichkeit dieser Inhalte, die Systemform selbst als  Invariante  festhalten und ihre Gesetze deduktiv entwickeln. Wir erschaffen dadurch ein neues "objektives" Gebilde, das in seiner Struktur von aller Willkür unabhängig ist: aber unkritische Naivität wäre es, den  Gegenstand,  der auf diese Weise entsteht, mit den sinnlich wirklichen und wirksamen Dingen zu verwechseln. Diesem Gegenstand können wir nicht empirisch seine "Eigenschaften" ablesen und wir bedürfen dessen nicht, da er in all seiner Bestimmtheit vor uns steht, sobald wir einmal die Relation, aus der er erwächst, in ihrer Reinheit ergriffen haben.

So grundlegend indessen das begriffliche Moment der  Ordnung  auch ist, so ist doch in ihm der gesamte Inhalt des Zahlbegriffs nicht erschöpft. Wir gelangen zu einer neuen gedanklichen Wendung, sobald die Zahl, die bisher als bloße logische  Abfolge  von Denksetzungen abgeleitet wurde, als Ausdruck der  Vielheit  verstanden und verwendet werden soll. Dieser Übergang von der reinen Ordnungszahl zur  Kardinalzahl  [natürliche Zahl als Mengenangabe, wp] wird von den verschiedenen ordinalen Theorien der Arithmetik, wie sie, neben DEDEKIND, insbesondere HELMHOLTZ und KRONECKER entwickelt haben, im allgemeinen übereinstimmend vollzogen. Ist irgendein endliches System gegeben, so können wir es auf den zuvor entwickelten Inbegriff der Zahlen in bestimmter und eindeutiger Weise beziehen, indem wir jedem Element des Systems eine und nur eine Stelle dieses Inbegriffs entsprechen lassen. Wir gelangen auf diese Weise, indem wir der vorgeschriebenen festen Ordnung der Stellen folgen, schließlich dazu, dem  letzten  Glied des Systems eine bestimmte Ordinalzahl,  n,  zuzuordnen. Dieser Akt der Zuordnung aber, der das Verfahren abschließt, faßt zugleich alle seine früheren Phasen in sich: denn da der Fortschritt von  1  zu  n  nur auf eine einzige Art erfolgen kann, so gibt hier das Ziel, zu dem wir gelangen, gleichzeitig die gesamte Operation, durch die hindurch wir es erreichen, in ihrer spezifischen Bestimmtheit wieder. Die Zahl  n,  die zunächst als Charakteristik des letzten Elements gewonnen wurde, läßt sich also, in einer anderen Richtung der Betrachtung zugleich als eine Charakteristik des  Gesamtsystems  ansehen: wir nennen sie die  Kardinalzahl  des betrachteten Systems und sagen von diesem nunmehr, daß es aus  n  Elementen bestehe. (12) Hierbei ist allerdings vorausgesetzt, daß es eine und nur eine Kardinalzahl der gegebenen Menge geben könne, daß also die Stell, auf die wir zuletzt treffen, von der  Ordnung,  in welcher wir die Glieder der Menge nacheinander betrachten und herausheben, unabhängig sei. Diese Voraussetzung kann indessen - wie insbesonders HELMHOLTZ gezeigt hat - ohne die Annahme irgendeines neuen Postulats aus den Prämissen der ordinalen Theorie in aller Strenge bewiesen werden; sobald man nur an der Bedingung festhält, daß die betrachtete Mannigfaltigkeit ein  endliches  System bildet. Auch die Definitionen der arithmetischen Grundoperationen können nunmehr ohne Schwierigkeit auf die neue Zahlart übertragen werden. So bedeutet etwa innerhalb der reinen Ordnungszahl die Bildung der  Summe (a + b),  daß wir, von  a  ausgehend, um  b  Schritte "weiterzählen", d. h., daß wir die Stelle der Reihe bestimmen, zu der wir gelangen, indem wir die auf  a  folgenden Zahlen gliedweise den Elementen der Reihe  1 2 3 ... b  zuordnen. Diese Erklärung bleibt ohne weiteres in Kraft, wenn wir zur Addition der Kardinalzahlen übergehen; es zeigt sich, daß aus der Zusammenfassung der Elemente zweier Mengen, denen die Kardinalzahl  a  und  b  zukommt, eine neue Menge  C  hervorgeht, in der die Anzahl der Glieder durch die Zahl  (a + b)  in der zuvor bestimmten Bedeutung angegeben wird. Die Betrachtung der "Kardinalzahlen" läßt uns somit keinerlei neue Eigenschaft und keine neue Beziehung entdecken, die sich nicht zuvor aus dem bloßen Moment der Ordnung hätte gewinnen lassen: nur das wird erreicht, daß die Formeln, die die ordinale Theorie entwickelt hat, eine weitere Anwendbarkeit gewinnen, indem sie nunmehr gleichsam in zwei verschiedenen Sprachen gelesen werden können. (13)

Wenn somit durch den Übergang, der sich hier vollzieht, kein eigentlich neuer  mathematischer  Inhalt geschaffen wird, so ist es nichtsdestoweniger unverkennbar, daß sich in der Bildung der Kardinalzahl eine neue  logische Funktion  betätigt. Wenn in der Theorie der Ordnungszahl die Einzelschritte als solche festgestellt und in eindeutiger Folge entwickelt wurden, so tritt jetzt die Forderung ein, die Reihe nicht nur nacheinander in ihren einzelnen Elementen, sondern als ideelles  Ganzes  zu erfassen. Das vorangehende Moment soll durch das folgende nicht einfach verdrängt werden, sondern seinen gesamten logischen Gehalt nach in ihm aufbehalten bleiben, so daß der letzte Schritt des Verfahrens zugleich alle vorhergehenden und das Gesetz, das sie wechselseitig verknüpft, in sich faßt. Erst in dieser Synthese vollendet sich die bloße  Folge  der Ordnungszahlen zum einheitlichen, in sich geschlossenen  System in welchem jedes Glied nicht nur für sich steht, sondern zugleich den Aufbau und das formale Prinzip der Gesamtreihe präsentiert.

Sind aber diese beiden logischen Grundakte, auf denen alle Unterscheidung und alle Verknüpfung von Zahlen beruth, einmal anerkannt, so bedarf es keiner weiteren speziellen Voraussetzung mehr, um das Gebiet und den Operationskreis der Arithmetik zu bestimmen. Die Forderung einer rein rationalen Ableitung, die von aller Anlehnung an die empirischen Verhältnisse physischer Objekte absieht, ist daher erfüllt. Freilich ist gerade dieser auszeichnende Grundcharakter in der Beurteilung der "ordinalen" Theorie der Zahl häufig verkannt worden. Die Begründung der Theorie, wie sie z. B. von HELMHOLTZ gegeben wurde, muß in der Tat zu der Auffassung führen, daß hier zunächst konkrete Mengen von Gegenständen als gegeben vorausgesetzt werden und daß alle Leistung des Denkens sich darin erschöpfe, für diese Verschiedenheit der  Dinge  eine entsprechende Verschiedenheit von  Zeichen  einzuführen. "Zeichen" aber sind als solche zunächst selbst nichts anderes, als Gruppen wahrnehmbarer Objekte, die sich durch ihre Gestalt und Stellung sichtbar voneinander unterscheiden. Von der unmittelbaren Beschaffenheit der Dinge scheinen wir demnach in den Aussagen über Zahlenverhältnisse nur deshalb absehen zu können, weil wir die Wirklichkeit der Objekte zuvor durch die ihrer sinnlichen "Abbilder" ersetzt haben. Nicht ein Absehen von den physischen Gegenständen, sondern umgekehrt eine Verdichtung und Konzentration ihres sinnlichen Gehalts wäre somit der echte Anfang der Zahlbildung. Jede derartige Auslegung, die durch die Darstellung, die die Theorie der Ordinalzahl bei verschiedenen Mathematikern erfahren hat, bisweilen nahegelegt zu werden scheint, widerspricht indessen in Wahrheit ihrer eigentlichen und tieferen logischen Tendenz. Die "Zeichen", die hier geschaffen werden, würden aufhören Zeichen zu sein, würden ihre charakteristische Leistung verlieren, wenn sie lediglich nach dem, was sie sinnlich  sind,  nicht nach dem, was sie gedanklich bedeuten, beurteilt würden. Was auf diese Weise übrig bliebe, wären in der Tat nur gewisse "Bilder", die wir auf ihre Form und ihre Größe, ihre Lage und ihre Färbung untersuchen könnten: kein noch so extremer mathematischer "Nominalismus" aber hat jemals tatsächlich versucht, den Gehalt der gültigen  Urteile  über Zahlen in Aussagen von dieser Art und Beschaffenheit umzudeuten. Nur die Zweideutigkeit in der Verwendung des Begriffs des Zeichens, nur der Umstand, daß darunter bald das bloße Dasein eines sinnlichen Inhalts verstanden wird, bald der ideale Gegenstand, der durch ihn  bezeichnet wird,  ermöglicht die Rückführung auf das nominalistische Schema. LEIBNIZ, dessen ganzes Denken doch auf den Plan einer "allgemeinen Charakteristik" konzentriert ist, hat daher gegenüber den formalistischen Theorien seiner Zeit den logischen Sachverhalt, der hier zugrunde liegt, mit aller philosophischen Klarheit bezeichnet. Die "Basis" der Wahrheiten liegt, wie er ausspricht, niemals in den Zeichen, sondern in den objektiven Beziehungen zwischen den Ideen. Wäre es anders, so müßten wir so viele Formen der Wahrheit unterscheiden, als es Weisen der Bezeichnung gibt. Unter den modernen Mathematikern hat sodann vor allem FREGE in eindringender Einzelkritik dargetan, wie die Arithmetik der Zeichen sich nur dadurch am Leben zu erhalten vermag, daß sie sich selber untreu wird. An die Stelle der leeren Symbole tritt im Verlauf der gedanklichen Entwicklung wiederum unvermerkt der Gehalt der arithmetischen Begriffe. (14)

Die nominalistische Darstellung bildet daher auch in der Theorie der reinen Ordnungszahlen nur eine äußere Hülle, die man abstreifen muß, um zum eigentlichen logischen und mathematischen Kern des Gedankens vorzudringen. Ist dies aber einmal geschehen, so sind es rein  rationale  Momente, die man zurückbehält: denn "Ordnung" ist nichts, was sich in den sinnlichen Eindrücken unmittelbar aufweisen ließe, sondern etwas, das ihnen erst kraft gedanklicher Relationen zukommt. So bedarf denn auch die Theorie in ihrer reinen Durchführung nicht, wie man ihr entgegengehalten hat, (15) der Voraussetzung einer Menge physisch gegebener Einzeldinge. Die Mannigfaltigkeiten, die sie zugrunde legt, sind nicht empirisch vorhandene, sondern ideell definierte Inbegriffe, die nach einer konstanten Regel aus einem einmal festgesetzten Anfang fortschreitend konstruiert werden. In dieser Regel wurzeln auch alle die echten "formalen" Bestimmungen, die die Zahlenreihe auszeichnen und sie zum Grundtypus eines begrifflich erkannten und beherrschten Zusammenhangs überhaupt machen.
LITERATUR - Ernst Cassirer, Substanzbegriff und Funktionsbegriff / Untersuchungen über die Grundfragen der Erkenntniskritik, Berlin 1910
    Anmerkungen
    1) Vgl. JOHN STUART MILL, System of Logic, Buch II, Kap. 6; An examination of Sir Willian Hamiltons Philosophie, Seite 67f
    2) FREGE, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau 1884, Seite 31f; zum Ganzen vgl. besonders Seite 9f und 27f
    3) Vgl. hierzu wiederum FREGE. a. a. O., Seite 37
    4) MILL, A System of Logic, Buch II, Kapitel 6, § 2
    5) RICHARD DEDEKIND, Was sind und was sollen die Zahlen?, 2. Auflage, Braunschweig 1893, Seite VIII
    6) BERTRAND RUSSELL, auf den diese Unterscheidungen zurückgehen, verdeutlicht sie an den verschiedenen verwandtschaftlichen Beziehungen: die Beziehung, die im Begriff "Geschwister" vorliegt, ist symmetrisch und transitiv, die Beziehung "Bruder" nicht symmetrisch und transitiv; die Beziehung "Vater" asymmetrisch und intransitiv usw. - Siehe hierzu und zum Folgenden: B. RUSSELL, The Principles of Mathematics, I, Cambridge 1903; vlg. auch meinen Aufsatz: Kant und die moderne Mathematik, Kantstudien XII, Seite 1f
    7) Näheres hierüber bei RUSSELL, a. a. O., Kaptitel 24 und 25
    8) RICHARD DEDEKIND, a. a. O., § 6. - Über den Begriff der "Abbildung"; über die Definition des "einfach unendlichen Systems" siehe DEDEKIND, a. a. O. § 5 und 6
    9) Siehe RUSSELL a. a. O., §242
    10) Zur Ableitung der Zahl als reiner "Reihenzahl" vgl. die Darstellung von G. F. LIPPS (Philosophische Studien, Bd. III [falsche Angabe, wp]), sowie die neuesten Darlegungen NATORPs, die diesen Gedanken mit besonderer Klarheit und Eindringlichkeit durchführen ("Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaft", Leipzig 1910, Kapitel 3 und 4
    11) Über WILLIAM HAMILTONs Definition der Algebra als "Science of pure time or order in progression" und ihre Beziehung zum Kantischen Zeitbegriff vgl. meinen Aufsatz "Kant und die moderne Mathematik", Kantstudien XII, 34f
    12) Vgl. besonders DEDEKIND, Was sind und was sollen die Zahlen, § 161, Seite 54
    13) HERMANN HELMHOLTZ, Zählen und Messen, erkenntnistheoretisch betrachtet (Philosophische Aufsätze, EDUARD ZELLER gewidmet, Leipzig 1887, Seite 33)
    14) FREGE, Grundgesetze der Arithmetik, Bd. 2, Jena 1903, Seite 69f und Seite 139
    15) Vgl. COUTURAT, De l'Infini mathématique, Paris 1896, Seite 318f