tb-1L. NelsonH. Czolbe    
 
ERNST CASSIRER
Substanzbegriff und Funktionsbegriff
- Die Zahlbegriffe -
[Fortsetzung]
[3|3]

"Alle Leistung des Denkens erschöpft sich darin, für diese Verschiedenheit der  Dinge  eine entsprechende Verschiedenheit von  Zeichen  einzuführen. Zeichen aber sind als solche zunächst selbst nichts anderes, als Gruppen wahrnehmbarer Objekte, die sich durch ihre Gestalt und Stellung sichtbar voneinander unterscheiden. Von der unmittelbaren Beschaffenheit der Dinge scheinen wir demnach in den Aussagen über Zahlenverhältnisse nur deshalb absehen zu können, weil wir die Wirklichkeit der Objekte zuvor durch die ihrer sinnlichen "Abbilder" ersetzt haben. Nicht ein Absehen von den physischen Gegenständen, sondern umgekehrt eine Verdichtung und Konzentration ihres sinnlichen Gehalts wäre somit der echte Anfang der Zahlbildung."

"Es ist die Grundeigentümlichkeit der Theorie der natürlichen Zahlen, daß in ihr die Einzelzahl niemals etwas für sich allein bedeutet, daß ihr nur als  Stelle im Gesamtsystem  ein fester Wert zukommt. Die Definition der einzelnen Zahl bestimmt zugleich und unmittelbar das Verhältnis, in welchem sie zu den übrigen Gliedern des Gebiets steht und dieses Verhältnis läßt sich nicht wegdenken, ohne daß damit zugleich der Gesamtgehalt des besonderen Zahlbegriffs verloren ginge."

"Es sind Urteile und Aussagen über  Nicht-Wirkliches,  die hier dennoch einen bestimmten, unentbehrlichen  Erkenntniswert  für sich in Anspruch nehmen."

III.

Blickt man jedoch auf die tatsächliche Entwicklung, die die moderne mathematische Prinzipienlehre genommen hat, so kann es scheinen, als sei in allen bisherigen Bestimmungen gerade das wesentliche Moment außer Betracht geblieben, in dem die logische Charakteristik der Zahl sich erst vollendet. Wo immer man versucht hat, den Zahlbegriff in rein "logische Konstanten" aufzulösen, da wurde man auf den  Klassenbegriff  als seine notwendige und hinreichende Voraussetzung zurückgeführt. Die Analysis der Zahl schien erst dann abgeschlossen, wenn es gelungen war, allen Sondergehalt der Zahl aus der  allgemeinen Funktion des Begriffs  überhaupt herzuleiten: - begriffliche Formung aber bedeutete wiederum nach der herrschenden logischen Grundüberzeugung nichts anderes, als die Zusammenfassung der Gegenstände in Arten und Gattungen vermöge der Subsumption unter generelle Merkmale.

So mußte aus dem Zahlbegriff, um ihn gedanklich zu bewältigen, zuvor alles entfernt werden, was sich diesem Grundschema nicht einfügt. Hier aber entsteht für die Theorie zunächst eine prinzipielle Schwierigkeit. Betrachten wir nicht den Gedanken der Zahl überhaupt, sondern den Begriff dieser und jener  bestimmten  Zahl, so haben wir es in ihm nicht mit einem logischen  Allgemeinbegriff,  sondern mit einem Individualbegriff zu tun. Es handelt sich hier nicht um die Angabe einer Gattung, die in beliebig vielen Einzelexemplaren gegeben sein kann, sondern um die Fixierung einer eindeutig bestimmten Stelle innerhalb eines Gesamtsystems. Es gibt nur  eine  Zwei, nur  eine  Vier und beiden kommen bestimmte mathematische Eigenschaften und Merkmale zu. die sie mit keinem anderen Gegenstand teilen. Soll trotzdem die  Redukton  des Zahlbegriffs auf den Klassenbegriff' möglich sein, so muß hierfür ein anderer Weg eingeschlagen werden. Um zu bestimmen, was die Zahl ihrem reinen Wesen nach "ist", suchen wir nicht sie selbst unmittelbar in inhaltlich einfachere Bestandteile zu zerlegen, sondern fragen zunächst, was die  Gleichheit von Zahlen  bedeutet. Sobald einmal festgestellt ist, unter welchen Bedingungen wir zwei Mengen hinsichtlich ihrer Zahl als  gleichwertig  betrachten, ist damit zugleich mittelbar die Eigenart des Merkmals bestimmt, das wir in beiden als identisch annehmen. Das Kriterium für die Gleichzahligkeit zweier Mengen aber besteht darin, daß es möglich ist, eine bestimmte Relation anzugeben, durch welche sich die Glieder der beiden Mengen einander  wechselseitig eindeutig zuordnen lassen.  Kraft dieses Verfahrens der Zuordnung stiften wir unter den unendlich vielen möglichen Klassen von Gegenständen bestimmte  Zusammengehörigkeiten,  indem wir Gruppen, die sich auf diese Weise miteinander verknüpfen lassen, zu je einem Gesamtkomplex vereinigen. Wir fassen, mit anderen Worten, alle Mannigfaltigkeiten, für die in solches Verhältnis der "Äquivalenz" oder der eindeutigen Zuordnung der Glieder besteht, in eine Gattung zusammen, während wir Mengen, bei denen diese Bedingung nicht erfüllt ist, als verschiedenen Gattungen zugehörig betrachten. Ist dies geschehen, so kann weiterhin jede Einzelmenge hinsichtlich des Merkmals der Äquivalenz als vollständiger Repräsentant ihrer Gesamtgattung betrachtet werden: denn da sich zeigen läßt, daß zwei Mengen, die einer dritten äquivalent sind, es auch untereinander sind, so genügt es, von einem vorgegebenen Inbegriff  M  nachzuweisen, daß er sich  irgendeiner  Menge des Gesamtkomplexes Glied für Glied zuordnen läßt, um darin die Gewißheit zu besitzen, daß das Gleiche für  alle  Mengen des betreffenden Komplexes gilt. Indem wir nun die gemeinsame Beziehung, die alle Inbegriffe eines derartigen Komplexes untereinander besitzen, herauslösen und als für sich denkbaren Gegenstand auffassen, haben wir damit dasjenige Moment gewonnen, das wir in gewöhnlicher Ausdrucksweise als die  Zahl  jedes dieser Inbegriffe bezeichnen. "Die Anzahl, welche dem Begriff  F  zukommt" - so definiert demnach FREGE, auf den diese Ableitung in ihren Grundzügen zurückgeht -, "ist der Umfang des Begriffes: gleichzahlig dem Begriff  F."  Wir fassen den Gedanken der Anzahl eines Begriffs, indem wir die Gegenstände, die unter ihn fallen, nicht für sich allein betrachten, sondern zugleich mit ihnen auch alle diejenigen Klassen ins Auge fassen, deren Elemente zu denen des betrachteten Inbegriffs im Verhältnis der eindeutigen Zuordnung stehen.

Es ist somit das Charakteristische dieser Auffassung, daß sie dasjenige, was in der gewöhnlichen Ansicht lediglich als das  Kriterium  der Anzahlgleichheit erscheint, als das eigentlich konstitutive Merkmal heraushebt, auf dem aller  Inhalt  des Zahlbegriffs selbst beruth. Wenn der herkömmliche Weg darin besteht, die einzelnen Zahlen als "gegeben", als bekannt vorauszusetzen und dann aufgrund dieser Bekanntschaft über ihre Gleichheit oder Ungleichheit zu entscheiden, so gilt hier das umgekehrte Verfahren. Das  Verhältnis,  das in der Gleichung ausgesagt wird, ist das allein Bekannte; während die  Elemente,  die dieses Verhältnis eingehen, in ihrer Bedeutung zunächst noch unbestimmt sind und erst kraft der Gleichung allmählich bestimmbar werden. "Unsere Absicht ist," - so schildert FREGE das allgemeine Verfahren - "den Inhalt eines Urteils zu bilden, der sich so als eine Gleichung auffassen läßt, daß jede Seite dieser Gleichung eine Zahl ist. Wir wollen also ...  mittels des schon bekannten Begriffs der Gleichheit das gewinnen, was als gleich zu betrachten ist."  Hier ist in der Tat eine methodische Tendenz, die aller mathematischen Begriffsbildung zugrunde liegt, scharf bezeichnet: das "Gebilde" soll seinen gesamten Bestand aus den Relationen erhalten, die es erfüllt(vgl. *oben [aus der Grundeinheit hervorgeht]). Nur die eine Frage bleibt zurück, ob in der Beziehung der Äquivalenz zwischen  Klassen  wirklich eine Relation erfaßt ist, die logisch einfacher ist, als das Ganze der Funktionen, die in der ordinalen Theorie zur gegliederten Reihe der Ordnungszahlen hinführen. Ein Fortschritt der Analyse wäre offenbar nur dann erreicht, wenn es gelänge, von allen diesen Funktionen gänzlich abzusehen und dennoch auf einem neuen Weg den vollständigen Aufbau des Zahlenreiches und seiner Gesetze zu erreichen. Auf diesen Punkt also muß sich fortan die kritische Untersuchung konzentrieren: ist die Ableitung der Zahlenreihe aus dem Klassenbegriff tatsächlich vollzogen oder bewegt diese Ableitung sich in einem Zirkel, indem sie stillschweigend bereits Begriffe aus eben dem Gebiet voraussetzt, das sie zu deduzieren unternimmt? (12)

Mit der empiristischen Anschauung vom Wesen der Zahl, die sie aufs schärfste bekämpft, begegnet die Theorie, die hier entwickelt wird, sich dennoch in einem  formalen  Moment: auch sie faßt die Zahl als eine "gemeinsame Eigenschaft" gewisser Inhalte und Inhaltsgruppen. Nur sind die Substrate der Zahlaussagen, wie nachdrücklich betont wird, nicht in den sinnlich physischen Dingen selbst, sondern lediglich in den Begriffen dieser Dinge zu suchen. Jedes Urteil über Zahlenverhältnisse legt nicht den Objekten, sondern ihren Begriffen bestimmte Merkmale bei, durch die sie in Klassen von eigentümlicher Beschaffenheit geschieden werden. "Wenn ich sage: die Venus hat 0 Monde, so ist gar kein Mond oder Aggregat von Monden da, von dem etwas ausgesagt werden könnte; aber dem  Begriff  "Venunsmond" wird dadurch eine Eigenschaft beigelegt, nämlich die, nichts unter sich zu befassen. Wenn ich sage: "der Wagen des Kaisers wird von vier Pferden gezogen", so lege ich die Zahl vier dem Begriff  Pferd,  das den Wagen des Kaisers zieht,' bei." Dieser Umstand allein erklärt denn auch die universelle Anwendbarkeit der Zahlaussage, die sich gleich sehr auf Stoffliches und Unstoffliches, auf innere und äußere Erscheinungen, auf Dinge, wie auf Ereignisse und Handlungen erstrecken kann. Diese scheinbare Mannigfaltigkeit des Gebiets des Zählbaren erweist sich bei schärferer Betrachtung als strenge Gleichförmigkeit: denn die Zahlangabe geht niemals auf die heterogenen Inhalte selbst, sondern auf die Begriffe, unter die sie gefaßt sind, betrifft somit stets dieselbe  logische  Wesenheit. Wie das genauer zu verstehen ist, hat die frühere Entwicklung dargetan: den Begriffen wird eine gewisse Zahlbestimmung aufgeprägt, wenn sie mit anderen, zu denen sie im Verhältnis der gegenseitig eindeutigen Zuordenbarkeit der Umfangselemente stehen, zu Klassen zusammengefaßt werden.

Diesen Darlegungen gegenüber aber muß sich zunächst  ein  Einwand aufdrängen. Die Theorie, die hier vertreten wird, will keineswegs einen Allgemeinbegriff der Zahl willkürlich ersinnen, sondern die eigentliche Funktion aufweisen, die die Zahl im wirklichen Ganzen der Erkenntnis besitzt. Gerade das wird gegenüber der Auffassung, die von der reinen  Ordnungszahl  ausgeht, als eigentümlicher Vorzug betont, daß die "logischen" Eigenschaften der Zahl, die hier abgeleitet werden, zugleich unmittelbar diejenigen sind, die für ihren "Gebrauch im täglichen Leben" bestimmend und wesentlich sind. Der künstlichen Ableitung, die lediglich die Zwecke der arithmetischen Wissenschaft ins Auge faßt, soll gleichsam eine natürliche entgegentreten, die gleichzeitig den konkreten Anwendungen, die wir von der Zahl machen, gerecht wird. Eine schärfere Untersuchung zeigt indessen, daß dieses Ziel nicht erreicht wird: denn was hier logisch deduziert wird, fällt mit dem eigentlichen  Sinn,  den wir mit den Zahlurteilen in der tatsächlichen Erkenntnis verbinden, in keiner Weise zusammen. Beschränken wir uns lediglich auf die bisherigen Festsetzungen, so werden wir durch sie zwar in den Stand gesetzt, verschiedene Gruppen von Elementen zusammenzustellen und unter einem bestimmten Gesichtspunkt als gleichartig aufzufassen, aber damit ist einstweilen über ihre "Zahl" im gewöhnlichen Sinn des Wortes noch keinerlei zureichende Bestimmung gewonnen. Unser Denken könnte in der Tat beliebig viele "äquivalente" Mengen durchlaufen und in ihrem wechselseitigen Verhältnis betrachten, ohne daß sich ihm in diesem Prozeß irgendwie das charakteristische Bewußtsein der reinen Zahlbegriffe ergäbe. Die spezifische  Bedeutung  der "Vier" oder der "Sieben" kann niemals aus der bloßen Nebeneinanderstellung noch so vieler Vierer- oder Siebenergruppen resultieren: es sei denn, daß schon zuvor die  einzelnen  Gruppen als bestimmt gegliederte Folgen von Elementen, also als Zahlen im Sinne der ordinalen Theorie, erfaßt worden sind. Das "Wieviel" der Elemente im gewöhnlichen Sinn läßt sich durch keine logische Umdeutung in eine bloße Aussage über das "Gleichviel" verwandeltn; es bleibt als selbständige Frage und Aufgabe der Erkenntnis zurück. Die Betrachtung dieser Aufgabe aber führt zu einem tieferen methodischen Gegensatz zurück, der zwischen den beiden Auffassungen der Zahl besteht. Es ist die Grundeigentümlichkeit der ordinalen Theorie, daß in ihr die Einzelzahl niemals etwas für sich allein bedeutet, daß ihr nur als  Stelle im Gesamtsystem  ein fester Wert zukommt. Die Definition der einzelnen Zahl bestimmt zugleich und unmittelbar das Verhältnis, in welchem sie zu den übrigen Gliedern des Gebiets steht und dieses Verhältnis läßt sich nicht wegdenken, ohne daß damit zugleich der Gesamtgehalt des besonderen Zahlbegriffs verloren ginge. In der allgemeinen Ableitung der Kardinalzahl, die wir hier betrachten, ist dieser Zusammenhang aufgehoben. Auch sie muß freilich notwendig darauf bedacht sein, ein festes Prinzip der  Anordnung  der Einzelzahlen aufzustellen und logisch zu deduzieren; aber der Sinn der Elemente soll dennoch  vor  dieser Ordnung und unabhängig von ihr feststehen. Die Glieder sind als die gemeinsame Eigentümlichkeit gewisser Klassen bestimmt, noch bevor irgendetwas über das Verhältnis ihrer Abfolge feststeht. In Wahrheit aber ist es eben das Moment, das hier zunächst ausgeschaltet wird, worin der eigentliche  Zahlcharakter wurzelt. Die Begriffsbildung, auf welche die Zahl zurückgeht, ist, ihrer eigentlichen Tendenz nach, nicht, wie es nach der herkömmlichen Abstraktionstheorie der Fall sein müßte, auf die Heraushebung des  Gleichartigen,  sondern auf die Heraushebung und Festhaltung der Verschiedenheit gerichtet. Die Betrachtung von Mengen, die sich einander gegenseitig eindeutig zuordnen lassen, kann zur Absonderung eines identischen Merkmals in ihnen führen; aber dieses Merkmal ist an sich noch nicht "Zahl", sondern nur eine nicht näher bestimmte logische Eigenschaft. Es wird zur Zahl erst, indem es sich von anderen Merkmalen desselben logischen Charakters abhebt, indem es zu ihnen in ein Verhältnis des "Früher" oder "Später", des "Mehr" oder "Weniger" tritt. Selbst diejenigen Denker, die die Erklärung der Zahl durch äquivalente Klassen am strengsten und folgerichtigsten durchgeführt haben, betonen daher, daß diese Erklärung für die methodischen Zwecke der reinen Mathematik im Grunde unerheblich sei. Was der Mathematiker an der Zahl betrachtet, das sind lediglich die Eigenschaften, auf denen die Ordnung der Stellen beruht. Die Zahl mag an sich selbst sein, was sie will: für Analysis und Algebra kommt sie einzig dadurch in Betracht, daß sie sich rein und vollständig in der Form einer "Progression" darstellen und entwickeln läßt. (13) Wird das aber einmal zugestanden, so ist damit streng genommen der Streit über den methodischen Vorrang der Ordnungszahl bereits aufgehoben: denn wo ließe sich eine sichere Auskunft über das "Wesen" der Zahl im erkenntniskritischen Sinne gewinnen, als in ihrem allgemeinsten wissenschaftlichen Gebrauch?

Und auch die Berufung auf die Bedeutung, die wir mit dem Zahlbegriff im vorwissenschaftlichen Denken verbinden, hält hier nicht stand. Die  psychologische  Analyse zumindest bietet keine Stütze der Theorie. Jede Reflexion auf den eigentlichen Tatbestand des Denkens läßt vielmehr sogleich den inneren Unterschied zwischen dem Gedanken der  Äquivalenz  und dem der  Zahl  klar hervortreten. Wäre die Zahl das, was sie nach dieser Ableitung allein sein soll, so bliebe es noch immer eine eigentümlich verwickelte und schwierige Aufgabe, den Prozeß aufzuweisen, kraft dessen ein derartiger Begriff im Bewußtsein entsteht und festgehalten wird. Denn die Zahl bedeutet hier eine Beziehung zwischen inhaltlich gänzlich heterogenen Klassen, die durch kein weiteres Moment, als eben die Möglichkeit der gegenseitigen Zuordnung, verbunden sind. Welches gedankliche  Motiv  bestände aber, derart ungleichartige Gruppen überhaupt aufeinander zu beziehen; welchen Sinn hätte es, etwa die Klasse der Jupitermonde mit der der Jahreszeiten, die Menge der Kegel in einem Kegelspiel mit der der Musen zusammenzustellen! Eine derartige Vergleichung ist verständlich,  nachdem  bereits auf anderem Weg der "Zahlwert" für jede dieser Klassen und dadurch mittelbar eine Übereinstimmung zwischen ihnen festgestellt ist; hier dagegen, wo dieser Wert nicht vorausgesetzt werden soll, entbehrt diese selbst jeder festen Direktive und Richtschnur. Man hat der Theorie der Äquivalenz vorgehalten, daß sie einem "extremen Relativismus" Vorschub leiste, sofern hier die Bestimmtheit der Zahl eine Beschaffenheit sein soll, die einer Menge nicht an sich selbst, sondern lediglich im Verhältnis zu anderen Mengen zukommen soll. Dieser Vorwurf ist indessen zumindest zweideutig: denn der Zahlbegriff kann in der Tat, in jeder Form der Ableitung, nichts anderes, als einen reinen Relationsbegriff bedeuten. Nur das Gebiet und gleichsam der logische Ort der Relation ist hier verschoben: denn während es sichin der ordinalen Theorie [der natürlichen Zahlen, wp] um ideelle Setzungen handelt, die sich wechselseitig  aufeinander  beziehen, soll hier jede einzelne dieser Setzungen aus einem Verhältnis gegenüber  "Klassen"  abgeleitet werden.

Die Voraussetzungen, die hierbei zugrunde liegen, treten am deutlichsten hervor, sobald dazu übergegangen wird, unter diesem Gesichtspunkt eine strenge logische Definition der  einzelnen  Zahlwerte zu geben und die Bedingungen festzustellen, unter welchen wir zwei dieser Werte als unmittelbar aufeinanderfolgend bezeichnen wollen. Schon in der Erklärung der  Null  zeigen sich erhebliche Schwierigkeiten: denn es hat offenbar keinen Sinn, von der wechselseitigen eindeutigen Zuordnung der Glieder verschiedener Klassen noch in dem Fall zu sprechen, daß diese Klassen, ihrer Definition nach, keine Glieder besitzen. Aber selbst wenn diese Schwierigkeit durch komplizierte logische Umdeutungen des Begriffs der Äquivalenz gehoben werden könnte, (14) so tritt der Zirkel in der Erklärung doch alsobald wiederum deutlich hervor, sobald zur Definition der "Eins" fortgeschritten wird. Was es heißt, ein Element als "eins" aufzufassen, das wurde hier schon von Anfang an als bekannt vorausgesetzt; denn die "Gleichzahligkeit" zweier Klassen wurde lediglich dadurch erkannt, daß wir jedem Element der ersten Klasse eins und nur eins der zweiten zuordneten. Freilich ist diese Bemerkung, so einfach, ja so trivial sie zu sein scheint, vielfach bestritten worden. Es ist etwas anderes - so hat man eingewandt - ob ich die Zahl Eins in ihrer strengen arithmetischen Bedeutung oder ob ich sie nur in dem vagen Sinne nehme, den der unbestimmte Artikel bezeichnet: lediglich dieser letztere Sinn aber wird vorausgesetzt, wenn ich aufgefordert werde, irgendein Glied eine Klasse  u  herauszugreifen und es auf ein Glied einer anderen Klasse  v  zu beziehen. "Daß jedes Individuum oder jedes Glied einer Klasse in gewissem Sinne eins ist," so heißt es z. B. bei RUSSELL, "ist natürlich unbestreitbar, aber es folgt daraus nicht, daß der Begriff der "Eins" vorausgesetzt ist, wenn wir von einem Individuum sprechen. Wir können vielmehr umgekehrt den Begriff des Individuums als den grundlegenden ansehen, von welchem der Begriff Eins abgeleitet ist." Unter diesem Gesichtspunkt wird die Bedeutung der Aussage, daß eine Klasse  u ein  Glied (in arithmetischem Sinn) besitze, dahin bestimmt, daß diese Klasse nicht Null ist und das, sobald  u  und  y u's  sind,  x  mit  y  identisch ist. Eine analoge Bestimmung soll dann den Begriff der gegenseitig eindeutigen Beziehung zwischen Termen fixieren:  R  ist eine derartige Beziehung, wenn für den Fall, daß  x  und x' zu  y  die Beziehung  R  haben und  x  die Beziehung  R  zu  y  und  y'  besitzt, sowohl  x  und  x'  als auch  y  und  y'  identisch sind. (15) Es ist jedoch leicht ersichtlich, daß hier die logische Funktion der Zahl nicht sowohl abgeleitet, als vielmehr lediglich auf kunstvolle  Art umschrieben  ist. Denn um die Erklärungen, die hier gegeben werden, zu verstehen, wird mindestens erfordert, daß ein Terminus  x  gedanklich festgehalten und als mit sich selbst  identisch  erfaßt werden, während er gleichzeitig auf einen  anderen  Terminus  y  bezogen und je nach den besonderen Bedingungen mit ihm als übereinstimmen oder als von ihm verschieden beurteilt werden soll. Legen wir indessen dieses Verfahren der Setzung und Unterscheidung zugrunde, so haben wir damit nichts anderes getan, als die  Zahl  im Sinne der  ordinalen  Theorie vorweggenommen. So wird z. B. die Klasse von 2 Gegenständen von RUSSELL durch die Bedingungen definiert, daß sie überhaupt Termini besitzt und daß, wenn  x  einer ihrer Termini ist, es einen anderen von  x  verschiedenen Terminus  y  der Klasse gibt; während weiterhin, wenn  x, y  verschiedene Termini der Klasse  u  sind und  z  von  x  und  y  verschieden ist, jede Klasse, zu der  z  gehört, sich von  u  unterscheidet. Man sieht, wie hier, um die Erklärung zu vollenden, die Elemente  x, y, z  in fortschreitender  Sonderung  erschaffen und damit mittelbar bereits als erstes, zweites, drittes ... Glied unterschieden werden müssen.

Allgemein müssen wir, um die verschiedenen Zahlen in die Form einer bestimmt geregelten "Progression" zu bringen - und erst diese Form ist es, auf der, wie wir sahen, ihre Bedeutung und ihr wissenschaftlicher Gebrauch beruth - ein Prinzip besitzen, das uns gestattet, wenn irgendeine Zahl  n  gegeben ist, die nächsthöhere zu definieren. Dieses Verhältnis der "Nachbarschaft" zwischen 2 Zahlen wird nun nach der Theorie dadurch bestimmt, daß wir die entsprechenden Klassen  u  und  v  miteinander vergleichen, indem wir ihre Elemente gliedweise einander zuordnen: findet es sich hierbei, daß in der einen Klasse ( v ) ein Glied zurückbleibt, das keine entsprechende Abbildung in der anderen ( u ) besitzt, so werden wir  v  relativ zu  u  als nächsthöhere Klasse bezeichnen. Auch hier wird also gefordert, daß wir den Bestandteil von  v der sich den Gliedern von  u  eindeutig zuordnen läßt, zunächst für sich als ein Ganzes herausheben, um von ihm sodann dasjenige Glied, das bei dieser Form der Beziehung unverbunden bleibt, als ein anderes "zweites" abzuheben. Somit wird im Grund auf genau dieselben intellektuellen Synthesen zurückgegriffen, auf denen in der Theorie der Ordnungszahl der Fortschrtt von einer Einheit zur nächsen beruth: und nur darin liegt der methodische Unterschied, daß diese Synthesen dort als freie  Setzungen  erscheinen, während sie hier der Anlehnung an gegebene  Klassen  von Elementen' bedürfen. (16)

Daß aber in dieser Auffassung die logische Ordnung der Begriffe in der Tat verkehrt ist, ergibt sich aus einer letzten entscheidenden Erwägung. Die Bestimmung der Zahl durch die Äquivalenz von Klassen setzt voraus, daß diese Klassen selbst als eine  Mehrheit  gegeben sind. Der Begriff der "*Ähnlichkeit" von Klassen, auf den die Bedeutung der Kardinalzahlen gegründet wird, verlangt zumindest die Betrachtung  zweier  Inbegriffe, die durch eine bestimmte Relation miteinander verknüpft sind. Man hat betont, daß es zur Herstellung dieser eindeutigen Beziehung nicht erforderlich sei, daß die Glieder der beiden Mannigfaltigkeiten zuvor einzeln durch Abzählung bestimmt seien, es genüge vielmehr die Angabe eines allgemeinen Gesetzes, das  irgendein  Element der ersten Mannigfaltigkeit mit  irgendeinem  der zweiten in Verbindung setze. Aber selbst, wenn wir diesem Gesichtspunkt gemäßt darauf verzichten könnten, die Einzelklassen, die wir miteinander vergleichen, zuvor in sich selbst numerisch zu gliedern, so bliebe doch stets der Umstand zurück, daß wir die Inbegriffe  als Ganzes  einander entgegensetzen und sie eben damit auch als "zwei" verschiedene auffassen müssen. Man mag entgegnen, daß  diese  Verschiedenheit durch den rein logischen Unterschied der  Klassenbegriffe  unmittelbar gegeben und somit keiner weiteren Ableitung fähig und bedürftig sei. Damit aber wären wir von den Klassen selbst zurückgeführt auf die  erzeugenden Relationen,  auf welchen sie beruhen und denen sie ihre Abgrenzung und Bestimmtheit verdanken. Der Unterschied in den Inbegriffen reduziert sich auf den Unterschied der begrifflichen Gesetze, als welchen sie hervorgegangen sind. Von diesem Punkt aus aber läßt sich, wie sich zeigte, unmittelbar und ohne den Umweg über den Klassenbegriff das System der Zahlen, als reiner Ordnungszahlen, ableiten: denn hierzu wird nichts anderes erfordert, als die Möglichkeit, eine Folge reiner Denksetzungen durch die verschiedene Beziehung zu einem bestimmten Grundelement, das als Ausgangspunkt dient, zu unterscheiden. Die Theorie der Ordnungszahl stellt also in der Tat gleichsam das prinzipielle Minimum dar, auf das in keiner logischen Ableitung des Zahlbegriffs verzichtet werden kann; während die Betrachtung äquivalenter Klassen zwar für die  Anwendungen  dieses Begriffs von größter Bedeutung sind, aber nicht zu seinem ursprünglichen Inhalt gehören.

Zugleich aber mündet hier der Streit der mathematischen Theorien wiederum in die allgemeine  logische Prinzipienfrage  ein, die für uns den Ausgangspunkt bildete. In den verschiedenen Deutungen des Zahlbegriffs wiederholt sich noch einmal der allgemeine Kampf zwischen der Logik der  Gattungsbegriffe  und der Logik der  Relationsbegriffe.  Gelänge es, den Begriff der Zahl aus dem der Klasse abzuleiten, so wäre damit in der Tat die traditionelle Form der Logik von einem neuen Ausgangspunkt her befestigt. Die Einordnung des Einzelnen in die Hierarachie der Gattungen würde nach wie vor das eigentliche Ziel alles Erkennens, des empirischen sowohl wie des exakten, bezeichnen. In den Versuchen der Begründung der logischen Theorie der Kardinalzahlen ist dieser Zusammenhang bisweilen deutlich sichtbar geworden. Fasse ich etwa den Gedanken "zwei Menschen", so habe ich damit - nach RUSSEL - das logische Produkt des Begriffs "Mensch" und des Begriffs "Paar" (couple) gebildet - und der Satz, daß es zwei Menschen gibt, besagt nichts anderes, als daß ein Komplex gegeben ist, der gleichzeitig der Klasse "Mensch" und der Klasse "Paar" angehört. (17) An diesem Punkt zeigt es sich, daß die Theorie den kritischen Grundgedanken, von dem sie ausging, nicht zu vollkommener Durchführung gebracht hat. FREGE und RUSSELL betrachten es als den entscheidenden Vorzug ihrer Lehre, daß in ihr die Zahl nicht als eine Eigenschaft an physischen Dingen, sondern als Aussage über eine bestimmte Beschaffenheit von Klassen erscheint, daß hier also nicht mehr die Objekte als solche, sondern die  Begriffe  von diesen Objekten das Fundament des Zahlurteils bilden (siehe *oben [753684] Daß mit dieser Umwandlung gegenüber der sensualistischen Auffassung eine außerordentliche Befreiung und Vertiefung gewonnen ist, ist unbestreitbar. Dennoch genügt es nicht, den rein  begrifflichen  Charakter der Zahlaussage zu betonen, solange noch  Dingbegriffe  und  Funktionsbegriffe  völlig auf eine Stufe gestellt werden. Die Zahl erscheint alsdann nicht als der Ausdruck der Grundbedingung, die die Setzung jeglicher Mehrheit erst ermöglicht, sondern als ein Merkmal, das an der gegebenen Mehrheit der Klassen haftet und sich aus ihr durch Vergleichung absondern läßt. So wiederholt sich der Grundmangel aller Abstraktionstheorien: was als rein kategorialer  Gesichtspunkt  die Begriffsbildung leitet und beherrscht, das sucht man irgendwie als  inhaltlichen Bestandteil  in den verglichenen Objekten selbst wiederzufinden (siehe *oben [01 das bisherige Schema]. Die Theorie erweist sich zuletzt als der subtile und konsequent durchgeführte Versuch, mit dem allgemeinen Schematismus der Gattungsbegriffe ein Problem zu bewältigen, das seiner Bedeutung und seinem Umfang nach einem neuen Gebiet angehört und einen anderen Begriff der Erkenntnis voraussetzt. (18)


IV.

Die bisherigen Versuche, den Charakter des Zahlbegriffs und das Prinzip der Zahlbildung festzustellen, haben indessen die Frage noch nicht in derjenigen Allgemeinheit und Weite erfaßt, die sie durch die Entwicklung der modernen Mathematik gewonnen hat. Es ist die Zahl in ihrer primitivsten Gestalt und Bedeutung, auf welche der Ableitungsversuch der Klassentheorie wie der ordinalen Theorie sich beziehen. Der Standpunkt der Pythagoreer ist noch nicht prinzipiell verlassen: die "Anzahl" im engeren Sinne als der  ganzen Zahl  bildet noch immer das eigentliche und ausschließliche Problem. Das wissenschaftliche System der Arithmetik aber schließt sich erst in den Erweiterungen ab, die der Begriff der Zahl durch die Einführung des Gegensatzes der positiven und negativen, der ganzen und gebrochenen, der relationalen und irrationalen Zahlen erfährt. Sind diese Erweiterungen - wie bedeutende Mathematiker behauptet haben - lediglich künstliche Umbildungen, die nur aus dem Gesichtspunkt der  Anwendungen  erklärt und gerechtfertigt werden können oder stellen sie  Äußerungen  derselben  logischen Funktion  dar, die schon die erste Setzung der "Anzahlen" beherrscht?

Die Schwierigkeiten, denen die Einführung jeglicher neuen Zahlart, denen die Begriffe des Negativen und Irrationalen sowohl, wie der des Imaginären immer wieder begegnet sind, erklären sich leicht, wenn man erwägt, daß in all diesen Umbildungen das eigentliche  Substrat  der Zahlaussagen sich mehr und mehr zu verflüchtigen drohte. Die Anzahlen in ihrem allgemeinsten Grundsinn können unmittelbar durch wahrnehmbare Gegenstände als "real" und somit als gültig aufgewiesen werden. Die Bedeutung der "Zwei" oder "Vier" bildet, wie es scheint, kein ernsthaftes Problem, da doch die empirische Welt der Dinge uns allenthalben Gruppen von zwei und vier Dingen unmittelbar darbietet. Mit der ersten Verallgemeinerung und Weiterführung des Zahlbegriffs aber schwindet dieser dingliche Gehalt, auf den die naive Auffassung sich vornehmlich stützt und beruft. Der Begriff und die Bezeichnung der "imaginären" Zahl ist der Ausdruck eines Gedankens, der seinem ersten Ansatz nach bereits in jeder der neuen Zahlarten wirksam ist und der ihr das charakteristische Gepräge gibt. Es sind Urteile und Aussagen über  Nicht-Wirkliches,  die hier dennoch einen bestimmten, unentbehrlichen  Erkenntniswert  für sich in Anspruch nehmen. Diesen Zusammenhang und damit das allgemeine Prinzip, auf das alle die verschiedenen Methoden der "Zahlerweiterung" überhaupt zurückgehen, hat GAUSS in einer Anzeige, in der er sich das Ziel setzt, die echte "Metaphysik des Imaginären" zu begründen, in vollster Schärfe und Bestimmtheit ausgesprochen. "Positive und negative Zahlen", so heißt es hier, "können nur da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegengesetztes hat, was mit ihm vereinigt der Vernichtung gleichzustellen ist. Genau besehen findet diese Voraussetzung nur da statt, wo nicht Substanzen (für sich denkbare Gegenstände), sondern Relationen zwischen je zwei Gegenständen das Gezählte sind. Postuliert wird dabei, daß diese Gegenstände auf eine bestimmte Art in eine Reihe geordnet sind, z. B.  A, B, C, D ...,  und daß die Relation des  A  zu  B  als der Relation des  B  zu  C  usw. gleich betrachtet werden kann. Hier gehört nun zum Begriff der Entgegensetzung nichts weiter, als der  Umtausch  der Relation, so daß, wenn die Relation (also der Übergang) von  A  zu  B als + 1  gilt, die Relation von B zu A durch - 1 dargestellt werden muß. Insofern als eine solche Reihe auf beiden Seiten unbegrenzt ist, repräsentiert jede reelle ganze Zahl die Relation eines beliebig als Anfang gewählten Gliedes zu einem bestimmten Glied der Reihe." Die Ableitung der Imaginärzahl beruth weiterhin darauf, daß die Gegenstände, die wir untersuchen, nicht mehr als in  einer  Reihe geordnet zu denken sind, sondern daß es zu ihrer Ordnung der Betrachtung einer  Reihe von Reihen  und damit der Einführung einer neuen Einheit  ( + i, - i)  bedarf. Hier tritt, abgesehen von allen Einzelheiten der Deduktion, der beherrschende logische Gesichtspunkt in aller Deutlichkeit hervor. Der Sinn der erweiterten Zahlbegriffe läßt sich nicht fassen, solange man dabei beharrt, das, was sie bedeuten an Substanzen, an  für sich  denkbaren Gegenständen aufzeigen zu wollen; aber er enthüllt sich sofort, sobald man in ihnen den Ausdruck reiner  Beziehungen  sieht, durch welche die Verhältnisse in einer konstruktiv erschaffenen Reihe geregelt werden. Eine negative  Substanz,  die zugleich Sein und Nichtsein bedeuten müßte, wäre eine contradictio in adjecto [ein Widerspruch in sich, wp]; eine negative  Beziehung ist nur das notwendige  logische Korrelat des Relationsbegriffs überhaupt, da jede Relation von  A  zu  B  sich zugleich als eine solche von  B  zu  A  darstellen und aussprechen läßt. Betrachtet man daher die erzeugende Relation (R), auf der der Übergang von einem Glied der Zahlenreihe zum nächstfolgenden beruht, so ist gleichzeitig durch sie auch ein Verhältnis des folgenden Gliedes zum vorangehenden gesetzt, also eine zweite Fortschrittsrichtung definiert, die wir als die Umkehrung der ersten oder als inverse Relation (R) auffassen können. Die positiven und negativen  Zahlen (+ a, - a ) erscheinen jetzt lediglich als ein anderer Ausdruck für den Fortgang in diesen beiden  Beziehungsrichtungen  (Ra, Raa). Aus dieser Grundauffassung leiten sich sodann all die rechnerischen Operationen, innerhalb des auf diese Art erweiterten Zahlgebiets in einfacher Weise ab: sie alle gründen sich auf den Charakter der reinen Zahl als Beziehungszahl und bringen ihn zu immer deutlicherer Entfaltung. (19)

Wiederum soll diese Entwicklung nicht in allen ihren besonderen Phasen, sondern nur an einzelnen  typischen  Beispielen verfolgt werden, an denen die logische Tendenz des Gedankens zum besonders klaren Ausdruck gelangt. Es ist vor allem die Ableitung der Irrationalzahl, in welcher das neue Prinzip sich bewährt. Zwei Wege sind es zunächst, auf welchen eine Deduktion des Irrationalen versucht werden kann. Wir können von den Verhältnissen zwischen gegebenen geometrischen Strecken oder aber von der Forderung der Auflösbarkeit bestimmter algebraischer Gleichungen ausgehen. Die erstere Methode, die bis auf WEIERSTRASS und DEDEKIND fast ausschließlich herrschte, gründet die neue Zahl auf den  Raum  und damit auf Beziehungen, die sich an meßbaren Objekten vorfinden. So scheinen es hier wiederum Erfahrungen an physisch-räumlichen Gegenständen zu sein, die den Prozeß der mathematischen Begriffsbildung beherrschen und ihm seine Richtung vorschreiben. Indessen zeigt es sich alsbald, daß zumindest die Berufung auf die Verhältnisse konkreter  empirischer Dinge  an diesem Punkt versagen muß. Die Machtverhältnisse von Dingen werden uns nur durch Beobachtung und somit nur innerhalb der Grenzen, die durch die Beobachtungsfehler gesetzt sind, bekannt. Eine völlig  exakte  Bestimmung in diesem Gebiet zu suchen und zu fordern, hieße die Natur der Frage selbst verkennen. Soist denn offenbar das gewöhnliche  System der Bruchzahlen  bereits ein in jeder Hinsicht ausreichendes gedankliches Instrument, um alle Aufgaben, die sich innerhalb dieses Bereiches ergeben können, vollständig zu beherrschen. Da es innerhalb dieses Systems keinen kleinsten Unterschied gibt, vielmehr zwischen zwei noch so nahen Elementen sich stets wieder ein neues Element angeben läßt, das dem Inbegriff angehört, so bietet sich hier eine begriffliche  Differenzierung  dar, die in den beobachtbaren Verhältnissen der Dinge niemals erreicht, geschweige überboten werden kann. Die Maßbeziehungen, auf die die äußere Erfahrung uns hinleitet, können uns somit niemals den Begriff des *Irrationalen in seiner strengen mathematischen Bedeutung aufzwingen: vielmehr muß dieser Begriff von innen heraus aus den Forderungen des systematischen Zusammenhangs der mathematischen Erkenntnisse selbst entstehen und begründet werden. Nicht die Körper der physischen Wirklichkeit, sondern allenfalls die rein  idealen  Strecken der Geometrie können somit das gesuchte Substrat für die Ableitung des Irrationalen abgeben. Das neue Problem erwächst nicht an der Auffassung gegebener, tatsächlich vorhandener Größen, sondern aus den Gesetzen bestimmter geometrischer  Konstruktionen.  Ist dies aber einmal erkannt, so muß sich die weitere Forderung erheben, die Konstruktion, die sich bei keinem Ableitungsversuch entbehren läßt, rein  aus dem Grundprinzip der Zahl selbst heraus  zu führen und als notwendig zu erweisen. Die Verschiebung der Frage von der Zahl auf den Raum würde die Einheit und Geschlossenheit des  Systems der Algebra  selbst aufheben.

Die gewöhnliche algebraische Methode, die die irrationalen Werte als Lösungen für bestimmte Gleichungen einführt, bleibt freilich unzureichend, da in ihr die  Aufstellung  eines Postulats mit dessen  Erfüllung  verwechselt wird. Denn abgesehen davon, daß sich unendlich viele irrationale Werte angeben lassen, die als Wurzeln algebraischer Gleichungen nicht darstellbar sind - so wird doch durch eine derartige Erklärung jedenfalls nichts darüber entschieden, ob der Gegenstand, der durch sie geschaffen wird, ein  eindeutig bestimmter  ist, oder ob es mehrere, untereinander verschiedene Werte gibt, die der bezeichneten Bedingung genügen. Die vollkommene Definition darf daher das ideelle Objekt, auf das sie hinzielt, nicht nur nach irgendeinem einzelnen  Merkmal,  das ihm zukommt bezeichnen, sondern muß es in seiner vollen charakteristischen Eigenart, kraft deren es sich von allen anderen unterscheidet, erfassen und bestimmen. Diese Eigenart aber ist für jeden Zahlwert vollständig gegeben, wenn zugleich mit seiner Ableitung seine Stelle im Gesamtsystem und somit sein Verhältnis zu den übrigen bekannten Gliedern des Zahlenreiches fixiert ist. Dieses Stellenverhältnis faßt alle sonstigen Eigenschaften, die der einzelnen Zahl nur immer beigelegt werden können, von Anfang an in sich, da alle diese Eigenschaften erst nachträglich aus ihm hervorgehen und durch es begründet werden.

Am reinsten tritt dieser logische Leitgedanke der Deduktion in dern bekannten DEDEKINDschen Erklärung der irrationalen Zahlen als "Schnitte" hervor. Denkt man sich zunächst die Gesamtheit der  rationalen Brüche  gegeben, wobei der Bruch als  Verhältniszahl  definiert und ohne Anlehnung an meßbare und teilbare Größen aus der Betrachtung reiner Ordnungsbeziehungen abgeleitet wird, (20) so wird durch jedes einzelne Element  a,  das wir aus diesem Inbegriff herausgreifen können, der Inbegriff selbst in zwei Klassen   A   und   B   zerlegt. Die erste dieser Klassen umfaßt alle Zahlen, die kleiner als  a  sind (d. h. ihm in der systematischen Ordnung des Inbegriffs  vorangehen);  die zweite alle Zahlen, die "größer" als  a  sind (d. h. auf  a  folgen). Wenn indessen die Angabe jeder einzelnen Bruchzahl zugleich implizit eine derartige Scheidung des Gesamtsystems in sich schließt, so gilt doch nicht die Umkehrung dieses Satzes: denn nicht jeder streng definierten und eindeutigen Scheidung, die sich gedanklich vollziehen läßt, entspricht ein bestimmter rationaler Wert. Betrachtet man etwa irgendeine positive Zahl  D,  die indessen nicht das Quadrat einer ganzen Zahl sein möge, so wird sie immer zwischen zwei Quadratzahlen liegen, so daß sich also eine positive ganze Zahl  Λ  von der Art angeben läßt, daß  d2 D D1+ Faßt man jetzt alles Zahlen, deren Quadrate kleiner als  D  sind, zu einer Gesamtklasse  Φ  zusammen, während man sich alle Zahlen, deren Quadrat größer als  D  ist, zu einer Klasse  Θ  vereinigt denkt, so gehört jeder nur immer angebbare Wert einer dieser Klassen zu, so daß die Einteilung, die hier vollzogen ist, das System der Rationalzahlen vollständig erschöpft. Dennoch gibt es, wie sich zeigen läßt, innerhalb dieses Systems kein Element, das diese Sonderung hervorbringt, das also größer als alle Zahlen der Klasse  Φ  und kleiner, als alle Zahlen der Klasse  Θ  wäre. Wir haben somit durch eine begriffliche Vorschrift - der sich übrigens beliebig viele andere an die Seite stellen lassen würden - eine völlig scharfe und klare  Beziehung  zwischen Zahlklassen erreicht, für deren Wiedergabe dennoch in der bisher definierten Mannigfaltigkeit kein einzelner Zahlwert zur Verfügung steht. Dieser Umstand ist es, der uns nunmehr zur Einführung eines neuen "irrationalen" Elementes veranlaßt: eines Elements, das keine andere Funktion und Bedeutung hat, als den, diese  Bestimmtheit der Einteilung selbst  begrifflich zu repräsentieren. Die neue Zahl ist somit in dieser Form der Ableitung nicht willkürlich ersonnen, noch wird sie als bloßes "Zeichen" eingeführt; sondern sie erscheint als der Ausdruck eines komplexen Ganzen von Relationen, die zuvor in begrifflicher Strenge abgeleitet wurden. Sie stellt von Anfang an einen bestimmten logischen Beziehungsgehalt dar und läßt sich in ihm wiederum auflösen.

Man hat gegen die Ableitung DEDEKINDs von philosophischer wie mathematischer Seite häufig den Einwand erhoben, daß sie eine unerweislich Forderung in sich schließe. Für den Fall irgendeiner vollständigen Einteilung des Systems der Rationalzahlen werde hier die  Existenz  eines und nur eines Zahlelements, das diese Einteilung vollzieht, nicht bewiesen, sondern lediglich aufgrund eines allgemeinen  Postulats  behauptet. In der Tat legt die Darstellung DEDEKINDs dieses Bedenken nahe, sofern sie zur Verdeutlichung des Grundgedankes zunächst von geometrischen Analogien ihren Ausgang nimmt. Die  Stetigkeit der geraden Linie  läßt sich, wie hier ausgeführt wird, durch die Bedingung zum Ausdruck bringen, daß, wenn alle Punkte der Geraden in zwei Klassen zerfallen, derart, daß jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt,  ein und nur ein Punkt der Geraden existiert,  welcher diese Einteilung aller Punkte, diese Zerschneidung der Geraden in zwei Stücke, hervorbringt. (21)

Die Annahme dieser Eigenschaft der Linie wird von DEDEKIND selbst als ein 'AXIOM bezeichnet, durch welches wir erst der Linie ihre Stetigkeit zuerkennen, durch welches wir die Stetigkeit in sie "hineindenken". "Hat überhaupt der Raum eine reale Existenz, so braucht er doch nicht notwendig stetig zu sein; unzählige seiner Eigenschaften würden dieselben bleiben, wenn er auch unstetig wäre. Und wüßten wir gewiß, daß der Raum unstetig wäre, so könnte uns doch wieder nichts hindern, falls es uns beliebte, ihn durch Ausfüllung seiner Lücken in Gedanken zu einem stetigen zu machen; diese Ausfüllung würde aber in einer Schöpfung von neuen Punkt-Individuen bestehen und dem obigen Prinzip gemäß auszuführen sein." (22) Bei einer derartigen Entgegensetzung des "Idealen" und "Realen" kann in der Tat der Gedanke entstehen, daß irgendeine  Begriffsbestimmtheit,  die sich uns in der Verfassung des Zahlenreiches aufdrängt, darum noch keine  Seins-Bestimmtheit  in sich zu schließen brauche. Der Fortschritt von einem ideellen systematischen  Zusammenhang  zur  Existenz  eines neuen Elements scheint eine  metabasis eis allo genos  [logischer Fehlschluß auf ein fremdes Gebiet, wp] in sich zu schließen. In Wahrheit aber handelt es sich hier um keinen unberechtigten Übergang, weil, zumindest innerhalb des Bereichs der Zahl, die gesamte dualistische Trennung von idealem und realem Sein, von "Essenz" und "Existenz" hinfällig wird. Wenn beim Raum sich eine derartige Sonderung zwischen dem Inhalt der freien geometrischen Konstruktionen und dem, was er in der Natur der Dinge "ist", allenfalls festhalten ließe: im Gebiet der reinen Zahl verliert sie jeglichen Sinn.  Keine  Zahl - die ganze so wenig, wie die gebrochene und irrationale - "ist" etwas anderes, als das, wozu sie in bestimmten begrifflichen Definitionen gemacht worden ist. Die Forderung, daß, wenn immer ein vollständiger "Schnitt" des rationalen Zahlsystems vorliegt, eine und nur eine Zahl "existiert", die ihm entspricht, kann daher keinen fragwürdigen Nebensinn in sich schließen. Was hier völlig unzweideutig gegeben ist, ist zunächst die  Bestimmtheit  der Einteilung selbst: wir können, wenn durch irgendeine begriffliche Regel das rationale System in zwei Klassen  Φ  und  Θ  sich sondert, von  jedem  seiner Elemente mit Sicherheit entscheiden, ob es der einen oder der anderen Klasse zugehört und weiterhin zeigen, daß bei dieser Alternative kein Glied unberücksichtigt bleibt, die getroffene Einteilung also eine vollständige und erschöpfende ist. Der "Schnitt" selbst hat somit als solcher unzweifelhafte logische "Realität", die ihm nicht erst durch ein Postulat gewährleistet zu werden braucht. Ferner aber ist auch die  Ordnung,  in der die verschiedenen Schnitte sich folgen, keine willkürliche, sondern ihnen durch ihren ursprünglichen Begriff eindeutig vorgeschrieben. Wir nennen von zwei Schnitten ( Φ, Θ)  und ( Φ', Θ')  den ersten größer als den zweiten, lassen ihn also auf diesen folgen, wenn sich irgend ein Element  φ  angeben läßt, das der Klasse  Φ  in der ersten, der Klasse  Θ'  in der zweiten Einteilung angehört. Somit existiert ein festes, allgemeingültiges Kriterium, das über die Reihenfolge der einzelnen Schritte entscheidet. Damit ist aber zugleich den so erschaffenen Gebilden der reine  Zahlcharakter  aufgeprägt. Denn die Zahl besitzt nach ihrer ursprünglichen Erklärung keinerlei spezifisch-inhaltliche Merkmale, sondern ist lediglich der allgemeinste Ausdruck der Ordnungs- und Reihenform überhaupt: wo immer also eine derartige Form sich festhalten läßt, da findet ihr Begriff Aufnahme und Anwendung. Die Schnitte "sind" Zahlen, weil sie in sich eine streng gegliederte Mannigfaltigkeit bilden, in welcher die relative Stellung der Elemente nach einer begrifflichen Regel feststeht.

Nicht darum also handelt es sich in der Schöpfung der neuen irrationalen Elemente, daß irgendwie "zwischen" den bekannten Gliedern des rationalen Zahlsystems noch das  Sein  anderer Elemente vermutet oder gefordert werde - diese Fragestellung bliebe in der Tat in sich selbst sinnlos und unverständlich - sondern darum, daß über der Ordnung des anfänglich gegebenen Inbegriffs ein anderes komplexeres System reihenförmig abgestufter Bestimmtheiten sich erhebt. Dieses System umfaßt den früheren Inbegriff und nimmt ihn in sich auf: denn das Kennzeichen der Aufeinanderfolge, das für die "Schnitte" angegeben ist, gilt unmittelbar auch für die rationalen Zahlen selbst, die sich ja sämtlich als Schnitte auffassen und darstellen lassen. Somit ist jetzt ein übergreifender Gesichtspunkt gefunden, nach welchem die wechselseitige Stellung  aller  Glieder des alten, wie des neuen Systems sich bestimmt. man sieht, wie hierin der Grundgedanke der ordinalen Theorie der zahl sich bewährt. Der Gedanke, die Zahl aus der  sukzessiven Addition von Einheiten  entstehen zu lassen und in dieser Operation ihre eigentliche begriffliche Wesenheit zu begründen, muß jetzt aufgegeben werden. Ein derartiges Verfahren enthält zwar  ein  Prinzip, geordnete Inbegriffe hervorgehen zu lassen, aber keineswegs  das  Prinzip der Erschaffung solcher Inbegriffe schlechthin. Die Einführung des Irrationalen ist zuletzt nichts anderes, als der allgemeine Ausdruck dieses Gedankens: sie gibt der Zahl die ganze Freiheit und Weite einer Methode der Ordnungsbildung überhaupt wieder, ohne sie auf irgendeine inhaltlich bestimmte  Einzelrelation  zu beschränken, kraft deren sich Glieder in geregelter Folge setzen und entwickeln lassen. Das begriffliche "Sein" der Einzelzahl geht hierbei immer reiner und deutlicher in ihre eigentümliche begriffliche  Funktion  auf: denn wenn nach der gewöhnlichen Auffassung, an die auch die Deduktion DEDEKINDs zunächst anknüpft, eine gewisse, an sich bereits gegebene und vorhandene Zahl, zugleich einen bestimmten Schnitt im Gesamtsystem "bewirkt", so wird zuletzt umgekehrt eben diese "Wirkung" zur notwendigen und  hinreichenden  Bedingung, um von der "Existenz" einer Zahl zu sprechen. Das Element kann aus dem Relationszusammenhang nicht herausgelöst werden, da es in sich selbst nichts anderes, als eben diesen Zusammenhang bedeutet und ihn gleichsam in verdichteter Form zum Ausdruck bringt.

Eine neue Wendung nimmt der allgemeine Gedanke, auf dem die Bildung der Zahl beruht, wenn man vom Gebiet der endlichen Zahlen zu dem der  transfiniten Zahlen  übergeht. Zugleich häufen sich nunmehr die eigentlichen  philosophischen  Schwierigkeiten: denn der Begriff des Unendlichen, der hier im Mittelpunkt steht, gehört seit jeher nicht minder dem Herrschaftsbereich der Metaphysik, als dem der Mathematik an. So hat denn auch CANTOR selbst, indem er in seinen grundlegenden Untersuchungen das System der transfiniten Zahlen schuf, zugleich alle die scholastischen Gegensätze des Potentiell- und Aktuell-Unendlichen, des Infiniten und Indefiniten wiederum heraufbeschworen. (23) Hier scheinen wir somit endgültig von der Frage nach der reinen Erkenntnisbedeutung der Begriffe zu den Problemen des absoluten  Seins  und seiner Beschaffenheit hinübergedrängt zu werden. Der Begriff des Unendlichen scheint die Schranke der Logik und den Grenzpunkt zu bezeichnen, an dem sie sich mit einem anderen Gebiet, das außerhalb ihrer Sphäre liegt, berührt.

Und dennoch gehen die  Aufgaben,  die zur Schöpfung des transfiniten Zahlenreiches führen, mit zwingender Notwendigkeit aus rein mathematischen Voraussetzungen hervor. Sie entstehen, sobald man den Grundbegriff der "Äquivalenz", der schon das Kriterium für die Anzahlgleichheit endlicher Mengen bildete, derart verallgemeinert, daß er zum Vergleich unendlicher Inbegriffe fähig wird. Zwei Inbegriffe heißen uns - gleichviel, ob die Zahl ihrer Elemente begrenzt oder unbegrenzt sein mag - äquivalent oder von gleicher "Mächtigkeit", wenn sich ihre Glieder wechselseitig eindeutig einander zuordnen lassen. Die Anwendung dieses Kriterium kann offenbar bei unendlichen Mengen nicht derart erfolgen, daß wir Elemente  einzeln  einander gegenüber stellen, sondern setzt voraus, daß sie eine  allgemeine Regel  angeben läßt, durch welche die durchgängige Korrelation festgestellt und in einem Blick überschaut wird. So sind wir sicher, daß jeder geraden Zahl  2n  eine ungerade  2n + 1  entspricht und daß, wenn wir hierbei  n  alle beliebigen ganzzahligen Werte annehmen lassen, die beiden Mengen der geraden und ungeraden Zahlen erschöpfend dargestellt und eindeutig aufeinander bezogen sind. Der Begriff der *Mächtigkeit, der auf diese Weise eingeführt ist, erhält indessen spezielleres mathematisches Interesse erst, sobald sich zeigt, daß er in sich selbst einer Differenzierung und  Abstufung  fähig ist. Bezeichnet man alle Inbegriffe, deren Elemente den Gliedern der natürlichen Zahlenreihe sich eindeutig zuordnen lassen, als solche  erster Mächtigkeit,  so entsteht die Frage, ob in ihnen das Ganze möglicher Mannigfaltigkeiten sich erschöpft oder aber ob sich Mengen angeben lassen, die in bezug auf das angegebene Merkmal eine andere Stellung einnehmen. Das letztere ist nun, wie bewiesen wird, in der Tat der Fall: während der Fortschritt von den positiven ganzen Zahlen zur Gesamtheit der rationalen Zahlen keine Änderung in der Mächtigkeit bedingt und das gleiche selbst dann gilt, wenn wir das System der rationalen zum System der algebraischen Zahlen erweitern, so nimmt der Inbegriff einen neuen Charakter an, sobald wir ihm weiterhin das Ganze der transzendenten Zahlen hinzufügen und ihn damit zur Mannigfaltigkeit der reellen Zahlen überhaupt ergänzen.  Diese  Mannigfaltigkeit stellt somit eine neue Stufe dar, die sich über der ersten erhebt; denn sie faßt einerseits Inbegriffe erster Mächtigkeit in sich, während sie andererseits über sie hinausgeht, da beim Versuch der Zuordnung ihrer Elemente zu denen der natürlichen Zahlenreihe stets eine Unendlichkeit unverbundener Glieder zurückbleibt. (24) Die Einführung der transfiniten  Zahlen α1  und  α0  will lediglich diesen charakteristischen Grundunterschied festhalten. Die neue Zahl besagt auch hier nichts anderes, als einen neuen  Gesichtspunkt,  nach welchem unendliche Inbegriffe sich ordnen lassen. Ein komplexerer Gehalt an Unterscheidungsmerkmalen ergibt sich, wenn man den transfiniten Kardinalzahlen, die sich lediglich auf die Angabe der Mächtigkeit unendlicher Menschen beschränken, das System der zugehörigen Ordnungszahlen zur Seite stellt, das uns entsteht, sobald wir die betrachteten Mengen nicht lediglich hinsichtlich der Anzahl der Elemente vergleichen, sondern zugleich die  Stellung  der Glieder im Inbegriff in Betracht ziehen. Wir sprechen zwei wohlgeordneten Mengen  M  und  N  (25) dieselbe Ordnungszahl oder denselben "Ordnungstypus" zu, wenn sich die Elemente beider  unter Festhaltung der Abfolge,  die für beide Inbegriffe gilt, einander gegenseitig eindeutig zuordnen lassen: so daß also, wenn  E  und  F  Elemente von  M, E1  und  F1  die entsprechenden Elemente von  N  sind, die Stellung von  E  und  F  in der Sukzession der ersten Menge in Übereinstimmung ist mit der Stellung von  E1  und  F1  in der Sukzession der zweiten Menge. Geht, mit anderen Worten, in der ersten Menge  E  vor  F  voraus, so muß auch in der zweiten  E1  vor  F1  vorausgehen. (26) Während somit bei der Vergleichung der Mächtigkeit zweier Mannigfaltigkeiten von jeder beliebigen Anordnung ihrer Glieder Gebrauch gemacht werden konnte, sind wir bei Feststellung ihres Ordnungstypus an eine bestimmte vorgeschriebene Art der Aufeinanderfolge gebunden. Sprechen wir nun allen Reihen, die sich gemäß der angegeben Bedingung der Folge der natürlichen Zahlen eindeutig zuordnen lassen, den Ordnungstypus  Ω  zu, so können wir weiterhin, indem wir solchen Reihen in ihrer Gesamthit je 1, 2, oder 3 Glieder hinzufügen, Reihen vom Typus  Ω + 1, Ω + 2, Ω + 3  bilden, weiterhin aber durch Vereinigung zweier oder mehrerer Inbegriffe vom Typus  Ω  die Ordnungstypen  2 Ω, 3 Ω, ... n Ω  erschaffen, um sodann, in immer weiterer Anwendung dieses Verfahrens, zur Konstruktion der Typen om2, om3 usw. überzugehen. Und es sind keineswegs bloß willkürliche Symbole, die hiermit eingeführt werden, sondern Bezeichnungen begrifflicher Bestimmtheiten und  Unterschiede,  die im Gebiet der unendlichen Mannigfaltigkeiten tatsächlich gegeben und unzweideutig aufweisbar sind. Die Form der  Zählung  ist auch hier nur der Ausdruck einer notwendigen logischen  Differenzierung,  die erst durch jene Form ihre klare und vollständige Fassung erhält.

Die metaphysischen Probleme des Aktual-Unendlichen treten bei dieser Form der Ableitung gänzlich zurück. Denn es handelt sich -wie man mit Recht betont hat (27) - bei den neuen Zahlengebilden nicht sowohl um "unendliche Zahlen", als vielmehr um "Zahlen von etwas Unendlichem"; - um mathematische Ausdrücke, die wir uns schaffen, um bestimmte unterscheidende Charaktere an unendlichen Inbegriffen aufzufassen und festzuhalten. Die Konflikte, die sich aus der Verknüpfung der Begriffe "Unendlichkeit" und "Wirklichkeit" ergeben, liegen demnach hier, wo wir uns durchaus auf dem Gebiet rein  ideeller  Setzungen bewegen, noch völlig fern. In zweifacher Form können diese Konflikte sich darstellen, je nachdem sie von der Seite des Objekts oder des Subjekts, von der Welt oder von der Tätigkeit des erkennenden Ich aus betrachtet werden. In der ersteren Hinsicht wird die Unmöglichkeit des Aktual-Unendlichen dadurch erwiesen, daß die  *Gegenstände,  auf die der Zählakt sich richtet und die er, wie es scheint, voraussetzen muß, stets nur in begrenzter Anzahl gegeben sein können. Gleichviel, welche Weite und welchen Umfang wir der abstrakten Zahl zusprechen mögen: das  Gezählte  muß stets in bestimmten Grenzen eingeschlossen gedacht werden, da es uns nicht anders, als vermöge der Erfahrung, die von Einzelheit zu Einzelheit fortschreitet, zugänglich ist. Auf der anderen Seite ist es die  psychologische Synthese des Zählakts selbst,  die das Aktual-Unendliche ausschließen soll: kein "endlicher Verstand" vermag unbegrenzt viele Einheiten tatsächlich zu durchlaufen und zueinander sukzessiv hinzuzufügen: beide Einwände aber verlieren gegenüber dem "Transfiniten", wenn wir es auf eine streng mathematische Bedeutung beschränken, ihr Recht. Die "Materie" des Zählens steht hier unbegrenzt zur Verfügung, da sie selbst nicht empirischer, sondern logisch-begrifflicher Natur ist. Nicht Aussagen von Dingen, sondern Urteile über  Zahlen  und  Zahlenbegriffe  sind es, die zusammengefaßt werden: so, daß der "Stoff", der etwa vorausgesetzt wird, selbst nicht als äußerlich gegeben, sondern als in freier Konstruktion entstanden zu denken ist. Ebensowenig aber ist der psychologische Vollzug besonderer, isolierter  Vorstellungsakte  und ihre nachträgliche Summierung hier in irgendeiner Weise erfordert. Der Begriff des Transfiniten dient vielmehr dem umgekehrten Gedanken: er stellt die Unabhängigkeit des reinen logischen Gehalts der  Zahl  von der "Zählung" - im gewöhnlichen Sinn des Wortes - dar. Schon für die Begründung der Irrationalzahl war es unumgänglich, unendliche Zahlenklassen zu betrachten, die lediglich durch eine allgemeine begriffliche Vorschrift in der Totalität ihrer Elemente dargestellt und überblickt, nicht aber gliedweise abgezählt werden konnten. Die neue Zahlkategorie bringt diesen fundamentalen Unterschied zu allgemeinster Anerkennung. CANTOR unterscheidet ausdrücklich die "logische Funktion", in der das Transfinite sich begründet, vom Verfahren der sukzessiven Setzung und Vereinigung von Einheiten. Die Zahl Ω ist nicht das Ergebnis solchen immer erneuten Hinzutuns einzelner Elemente, sondern sie will lediglich der Ausdruck dafür sein, daß der ganze unbeschränkte Inbegriff der natürlichen Zahlen, in welchem es kein "letztes Glied" gibt, "in seiner natürlicöhen Sukzession dem Gesetz nach gegeben sei." "es ist sogar erlaubt, sich die neu geschaffene Zahl  Ω  als  Grenze  zu denken, welcher die Zahlen 1, 2, 3, ..., ν ... zustreben, wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß Ω die  erste  ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen  ν  folgt, d. h. größer zu nennen ist, als jede der Zahlen  ν  ... Die logische Funktion, welche uns  Ω  geliefert hat, ist offenbar verschieden vom ersten Erzeugungsprinzip ganzer realer Zahlen und definiere dasselbe näher dahin, daß - wenn irgendeine bestimmte Sukzession definierter ganzer realer Zahlen vorliegt, von denen keine größte existiert - aufgrund dieses zweiten Erzeugungsprinzips eine neue Zahl geschaffen wird, welche als  Grenze  jener Zahlen gedacht, d. h. als die ihnen allen nächst größere Zahl definiert wird." (28)

Im Grunde freilich ist dieses "zweite Erzeugungsprinzip" nur deshalb zulässig und fruchtbar, weil es kein völlig neues Verfahren darstellt, sondern nur die Tendenz eines Gedankens weiterführt, der für  jede  logische Begründung der Zahl überhaupt unerläßlich ist. Die Betrachtung der Eigenschaften äußerer Dinge wie diejenige einzelner psychischer Inhalte und Vorstellungsakte erwies sich als unfähig, auch nur die Reihe der "natürlichen" Zahlen in ihrer gesetzlichen Ordnung aufzubauen und zum vollen Verständnis zu bringen. Hier bereits war es nicht das bloße Hinzutung von Einheit zu Einheit, das die Begriffsbildung beherrschte; vielmehr zeigte es sich, daß die einzelnen Glieder der Zahlenreihe und somit ihr gesamter  Umfang  nur dadurch zur Ableitung kommen konnte, daß ein und dieselbe  erzeugende Relation,  als  inhaltlich identisch  erfaßt und durch alle Abwandlungen der besonderen Anwendung hindurch festgehalten wurde. Es ist der gleiche Gedanke, der jetzt nur zu schärferer Ausprägung gelangt. Wie die unendliche Vielheit der natürlichen Zahlen zuletzt durch  einen  Begriff, durch ein allgemein gültiges Prinzip gesetzt ist, so läßt sich ihr Gehalt wiederum in  einen  Begriff zusammenziehen. Für das mathematische Denken wird die fundamentale Beziehung, die die Allheit der Glieder, die aus ihr hervorgehen können, in sich schließt, selbst wiederum zu einem neuen  Element,  zu einer Art Grundeinheit, von welcher eine neue Form der Zahlbildung ihren Ausgang nimmt. Der gesamte unendliche Inbegriff der natürlichen Zahlen wird, sofern er "dem Gesetz nach gegeben", d. h. als Einheit zu betrachten und zu behandeln ist, zum Ansatz für einen neuen konstruktiven Aufbau. Über der ersten Ordnung erheben sich andere und komplexere, die jene als Material brauchen und zugrunde legen. Von neuem zeigt sich somit die Befreiung des Begriffs der Zahl vom Begriff der  kollektiven  Vielheit.' Die "Zahl"  α  als Aggregat einzelner Einheiten auffassen und darstellen zu wollen, wäre widersinnig und würde ihren eigenen Begriff aufheben. Dagegen bewährt sich auch hier die ordinale Betrachtungsweise: denn im Begriff einer neuen Setzung, die auf  alle  Elemente der natürlichen Zahlenreihe folgt, liegt kein Widerspruch, sofern nur daran festgehalten wird, daß diese Allheit logisch in einem  einzigen  Begriff zu übersehen und zu erschöpfen ist.

Auch das Problem der Unendlichkeit der  Zeit  kann hier zunächst noch völlig außer Betracht bleiben. Denn der Sinn des "Folgens" in einer Reihe ist von dem der konkreten Zeitfolge unabhängig. Wie die Drei auf die Zwei nicht im Sinnes des Nacheinander von Ereignissen folgt, sondern mit diesem Verhältnis lediglich der logische Umstand bezeichnet werden soll, daß die  *Definition  der Drei die der Zwei "voraussetzt", so gilt das gleiche in noch strengerer Bedeutung für die Beziehung zwischen den transfiniten und den endlichen Zahlen. Daß die Zahl  Ω  "nach" allen endlichen Zahlen der natürlichen Zahlenreihe zu setzen ist, bedeutet letztlich lediglich eine derartige begriffliche Abhängigkeit in der Folge der Begründung. Die  Urteile,  in welche das Transfinite eingeht, erweisen sich als komplexe Aussagen, die durch die Analyse auf Verhältnisbestimmungen unendlicher Inbegriffe "natürlicher" Zahlen zurückgeführt werden. In diesem Sinne herrscht denn auch zwischen dem einen und dem anderen Gebiet eine durchgängige  begriffliche  Kontinuität. Die neuen Gebilde sind "Zahlen", sofern sie einmal in sich selbst eine vorgeschriebene Reihenform besitzen, sodann aber bestimmten Gesetzen rechnerischer  Verknüpfung  gehorchen, die denen der endlichen Zahlen analog sind, wenngleich sie nicht in allen Punkten mit ihnen übereinstimmen. (29)

Nich von außen her werden somit die neuen Gebilde des Negativen, des Irrationalen und Transfiniten dem Zahlsystem eingefügt, sondern sie erwachsen aus der stetigen Entfaltung der logischen Grundfunktion, die sich schon in der ersten Anlage des Systems als wirksam erwies. Eine neue prinzipielle Wendung aber tritt ein, sobald dem in sich selbst fertigen und geschlossenen Inbegriff der reellen Zahlen die komplexen Zahlensysteme gegenübertreten. Jetzt handelt es sich - gemäß der "Metaphysik des Imaginären", die GAUSS entwickelt und begründet hat - nicht mehr darum, die allgemeinsten Gesetze der Ordnung in  einer  Reihe festzustellen, sondern um die Zusammenfassung einer Mehrheit von Reihen, deren jede durch eine bestimmte erzeugende Relation gegeben ist, zu einer Einheit der Bestimmung. Mit diesem Fortgang zu einer mehrdimensionalen Mannigfaltigkeit treten logische Probleme hervor, die ihre vollständige Ausprägung erst außerhalb der Grenzen der reinen Zahlenlehre im Gebiet der allgemeinen Geometrie finden.
LITERATUR - Ernst Cassirer, Substanzbegriff und Funktionsbegriff / Untersuchungen über die Grundfragen der Erkenntniskritik, Berlin 1910
    Anmerkungen
    12) Das Problem, um das es sich hier handelt, ist in der neueren logisch-mathematischen Literatur lebhaft diskutiert worden: ich verweise für die positive Darlegung der Theorie besonders auf die Schriften von FREGE, RUSSELL und PEANO; für die Kritik auf B. KERRY, "Über Anschauung und ihre psychische Verarbeitung, Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie XI, Seite 287f; HUSSERL, "Philosophie der Arithmetik I, Halle 1891, Seite 129f; JONAS COHN, Voraussetzungen und Ziele des Erkennens, Leipzig 1908, Seite 158f
    13) Siehe BERTRAND RUSSELL, The Principles of Mathematics, I, Cambridge 1903, § 230. - Zum Begriff der Progression siehe *oben [Betrachten wir nunmehr eine Reihe]
    14) Vgl. über diesen Punkt: FREGE, Grundlagen der Arithmetik, Seite 82f; RUSSELL a. a. O. Seite 113 nebst der Kritik von KERRY, Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie XI, Seite 287f, sowie von POINCARÉ, Science et Méthode, Paris 1908, Livr. II. - Zur Kritik FREGEs siehe jetzt auch NATORP, Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaft", Leipzig 1910, Seite 112f
    15) Siehe RUSSELL a. a. O § 124 - 126, § 496 und FREGE, Grundlagen der Arithmetik, Seite 40f
    16) Um die Beziehung zu erklären, in der je zwei benachbarte Glieder der natürlichen Zahlenreihe zueinander stehen, geht z. B. FREGE von dem Satz aus: "es gibt einen Begriff  F  und einen unter ihn fallenden Gegenstand  x  der Art, daß die Anzahl, welche dem Begriff  F  zukommt,  n  ist und daß die Anzahl, welche dem Begriff  unter F fallend, aber nicht gleich x  zukommt,  m  ist": - dieser Satz wird als gleichbedeutend damit erklärt, daß  n  in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf  m  folgt (a. a. O. Seite 89). Hier wird also innerhalb des Inbegriffs  F  eine Unterscheidung getroffen, indem ein  einzelnes  Glied  x  herausgehoben und den übrigen gegenübergestellt wird: die Gesamtheit dieser übrigen wird dann zur Definition der benachbarten, "nächstniederen" Zahl verwandt. Es handelt sich somit auch hier nur um eine Umschreibung der "populären" Begriffsbestimmung, wonach jedes Glieder der Zahlenreihe von der benachbarten durch "Hinzufügung" bzw. das Fehlen einer "Einheit" unterschieden ist.
    17) RUSSELL, The Principles of Mathematics, I, Cambridge 1903,§ 111
    18) Freilich sind es nicht lediglich logische Gesichtspunkte, sondern zugleich speziellere  mathematische  Gründe gewesen, die zur Erklärung der Zahl durch die Äquivalenz der Klassen hingeführt haben. Erst auf dieser Grundlage schien es möglich, eine Theorie zu schaffen, die sich nicht von vornherein auf die endlichen Zahlen beschränkt, sondern "endliche" und "unendliche" Zahlen in einer einzigen Ableitung umfaßt und beherrscht. Das Moment der gegenseitigen eindeutigen Zuordnung von Mengen erschien von fundamentaler Bedeutung, da es auch dann bestehen bleibt, wenn man die Endlichkeit der Inbegriffe und damit ihre "Abzählbarkeit" - im Sinne der gewöhnlichen Auffassung des Zählaktes als des sukzessiven Fortschritts von Einheit zu Einheit - fallen läßt. So fruchtbar sich indessen der allgemeine Gesichtspunkt der "Mächtigkeit", der in diesem Zusammenhang entsteht, gezeigt hat: so ist doch damit keineswegs erwiesen, daß er mit dem Begriff der  Zahl  zumammenfällt. Die rein mathematischen Leistungen des Mächtigkeitsbegriffs bleiben offenbar unberührt davon, ob man in ihm das ursprüngliche  Prinzip  der Zahl oder nur ein abgeleitetes  Ergebnis  sieht, das seinerseits eine andere begriffliche Erklärung der Zahl bereits voraussetzt. Die Eigenschaften, die den endlichen und transfiniten Zahlen  gemeinsam  sind, enthalten keineswegs als solche bereits das wesentliche Moment der Zahlbildung überhaupt: das "summum genus" [die höchste Gattung, wp] im Sinne der Gattungslogik ist auch hier mit dem begrifflichen Ursprung der Erkenntnis nicht gleichbedeutend.
    19) Vgl. hierzu besonders die eingehende Darlegung und Begründung dieses Zusammenhangs bei NATORP, "Die logischen Grundlagen der exakten Wissenschaft", Leipzig 1910, Kap. 3 und 4
    20) Näheres hierüber z. B. bei RUSSELL, a. a. O., § 144f und § 230
    21) DEDEKIND, Stetigkeit und irrationale Zahlen, 2. Auflage, Braunschweig 1892, Seite 9f
    22) DEDEKIND, ebenda, Seite 12
    23) Vgl. CANTOR, Zur Lehre vom Transfiniten. Gesammelte Abhandlungen aus der Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, Halle/Saale, 1890
    24) Einige nähere Ausführungen in meinem Aufsatz "Kant und die moderne Mathematik" (Kantstudien XII, Seite 21f); für alle Einzelheiten muß auf die dort angeführte Literatur, sowie besonders auf CANTORs eigene Darstellung in den "Mathematischen Annalen" verwiesen werden.
    25) Zur Definition der "wohlgeordneten Menge" siehe CANTOR, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, § 2.
    26) CANTOR, ebenda, § 2, Seite 5
    27) S. KERRY, System einer Theorie der Grenzbegriffe, Leipzig und Wien 1890, Seite 68f
    28) CANTOR, Grundlagen § 11, Seite 33
    29) Näheres zur Arithmetik des Transfiniten z. B. bei RUSSELL, § 286, § 294f