cr-2DiltheyHelmholtzWundtE. RothackerB. ErdmannA. Stadler    
 
CARL STUMPF
Zur Einteilung der Wissenschaften
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"Mehr als irgendwo sonst hängt in den mathematischen Disziplinen die Einheit der Wissenschaft an der Einheit der Methode und die Einheit der Methode an der Einheit des Objekts."

"In einer vorkritischen Schrift leitete  Kant  die Gewißheit der mathematischen Erkenntnis gegenüber der philosophischen daraus her, daß ihre Gegenstände nicht gegeben sind, sondern erst durch Definitionen entstehen. Erst später hat er selbst erkannt, daß hierin doch nicht die letzte Wurzel des Unterschieds liegen kann. In der Tat sind ja viele Gegenstände durch willkürliche Definitionen herstellbar."

"Eine der verhängnisvollsten Verwechslungen, von der die Erkenntnistheorie sich erst allmählich befreit, ist die der Fragen nach dem Ursprung der Begriffe und nach der Herleitung von Erkenntnissen. Zwei Begriffe könnten nicht bloß im kantischen Sinn  a priori,  sondern sogar in der krassesten Wortbedeutung angeboren sein, und es könnten doch die daraus zu bildenden Urteile, die eine Zusammengehörigkeit dieser Begriffe behaupten, nur induktiv durch Schlüsse aus vielen Einzelwahrnehmungen als wahr erkannt werden."

"Ästhetik, Ethik, Logik, Rechtsphilosophie, Religions-, Sprach-, Sozialphilosophie usw., sie nähren sich an allen Ecken und Enden von psychologischem Blut. Was alle diese so verschiedenartigen Zweige philosophischer Forschung zusammenhält, ist nicht so sehr Metaphysik oder Erkenntnistheorie, auch nicht so sehr die allgemeinen Wertideen, als gerade die psychologischen Untersuchungen, deren sie samt und sonders in gleich hohem Maß bedürfen."


VII. Homogenes und Nichthomogenes.
Mathematik

Die Stellung der Mathematik im System der Wissenschaften richtig zu bestimmen, gehört zu den schwierigesten Aufgaben. Was wir im folgenden darüber zu sagen versuchen, macht nicht den Anspruch, als befriedigende Lösung zu gelten. Die mächtige Entwicklung der mathematischen Disziplinen, die selbst dem Fachmann die Übersicht und das Urteil erschwert, legt dem Nichtfachmann eine starke Reserve auf. Trotzdem wird man danach streben müssen, die fachmännischen Grundlegungen mit den Begriffen und Erkenntnissen der gleichfalls fortschreitenden philosophischen Doktrinen in Einklang zu bringen.

1. Als das nächstliegende Kennzeichen, um die mathematischen Wissenschaften gegen alle übrigen abzugrenzen, bietet sich die Verschiedenheit der  Methode  an, der apriorischen gegenüber der aposteriorischen. Diese Unterscheidung besteht trotz der entgegenstehenden Versuche, die Mathematik den Naturwissenschaften beizugesellen, meines Erachtens zur Recht. JOHN STUART MILLs induktive Herleitung der mathematischen (wie der logischen) Grundsätze aus einer Sammlung vieler Einzelerfahrungen bewegt sich offensichtlich im Kreis. Der Hinweis aber auf die mehrfachen Geometrien, die durch die Voraussetzung verschiedener Axiome gleichberechtigt nebeneinander treten, beweist nichts weniger als die Aposteriorität der Geometrie. Geben wir zu, daß sie als logisch gleich widerspruchsfreie einander koordiniert sind (auf welche Frage hier nicht eingegangen werden soll), so ist dann doch jede der nicht-euklidischen Geometrien ebenso wie die euklidische aus Axiomen und Definitionen abgeleitet (bzw., wenn man mit Neueren nur von Definitionen sprechen will, aus bloßen Definitionen). Wir haben statt einer apriorischen Wissenschaft deren drei, entsprechend den drei verschiedenen Raumarten, aber ihr logischer Charakter ist dadurch in keiner Weise geändert.

Die Methode, die Art der Beweisführung, kann also hier sehr wohl ein scharfes und zutreffendes Kriterium für eine Scheidung der Wissenschaften benutzt werden; wobei dahingestellt bleiben mag, ob noch andere Wissenschaften außer den mathematischen unter die Gruppe der apriorischen fallen würden. Aber der Unterschied der Methoden muß doch wieder in einem Unterschied der Gegenstände wurzeln, die den denkenden Geist im einen Fall zu dieser, im anderen zu jener Art des Aufbaus von Urteilen und Schlußfolgerungen veranlassen. Die so entstehende Frage soll hier nur für die  Geometrie  untersucht werden, da sich ihr Gegenstand immer noch am besten im Anschluß an den Ausgangspunkt allen Wissens, die Phänomene, definieren läßt, und da sie zu besonderen Streitigkeiten Anlaß gegeben hat.

2. Welches ist also der Gegenstand der Geomtrie?

Es ist  nicht  der objektiv-reale Raum.' Das heißt nicht jenes hypothetische  X,  das wir zwecks Bildung des Begriffs physischer Ggenstände und der Aufstellung physikalischer Gesetze als unabhängig vom Bewußtsein existierend voraussetzen. Diesem objektiven Raum schreiben wir bestimmte Eigenschaften und innere Verhältnisse zu, wie sie zu den genannten Zwecken angemessen scheinen; und zwar entnehmen wir solche Eigenschaften und Verhältnisse probeweise denen des geometrischen Raums. Aber vorher muß der geometrische Raum selbst im Bewußtsein gebildet und müssen seine immanenten Gesetzlichkeiten untersucht sein. Dies allein ist die Aufgabe der Geometrie, solange sie eine einheitliche Wissenschaft bleiben soll.

Hierüber mußt vor allem Einigung erstrebt werden. Welche Beschaffenheit des Objektiven wir vorauszusetzen haben, um den Erscheinungen gerecht zu werden, um physikalische Gesetze zu formulieren, um daraus neue Erscheinungen vorherzusagen, das ist ausschließlich eine Angelegenheit des Physikers. Daß er dazu überhaupt eine Art von Raumwelt braucht und nicht etwa mit einer Geruchs- oder Tonwelt auskommt, ist nach den bisherigen Erfahrungen gewiß, aber nicht  a priori  selbstverständlich. So gehört auch die Dimensionenzahl unter denselben rein empirischen Gesichtspunkt (wie dann auch ZÖLLNER aus empirischen Gründen, freilich mti ganz falschen Schlüssen, die Vierzahl erweisen wollte). Andere und allgemeinere Fragen über den objektiven Raum sind zugleich physikalisch und metaphysisch, z. B. inwiefern er sich vom phänomenalen Raum unterscheiden muß, ob Gründe für seine Endlichkeit oder Unendlichkeit sprechen und dgl. Nichts von all dem fällt in das Reich geometrischer Untersuchungen. Sie lehren nirgends die  Existenz  eines Raums oder räumlicher Gebilde, entscheiden nicht über die Eigenschaften existierender, sondern über die gedachter, hypothetischer, durch Definitionen willkürlich erzeugter Raumgebilde. Wohl kann man niemand hindern, jene Aufgaben mit diesen zu verbinden. Aber in dem Augenblick, wo es geschieht, ändert sich mit der Fragestellung auch die ganze Untersuchungsweise so grundwesentlich, daß die Einheitlichkeit der Wissenschaft damit verloren geht. Mehr als irgendwo sonst hängt in den mathematischen Disziplinen die Einheit der Wissenschaft an der Einheit der Methode und die Einheit der Methode an der Einheit des Objekts. Und es dürfte nicht zweckmäßig sein, hiervon abzugehen.

Hier müssen wir sogleich auf die nicht-euklidische Geometrie zurückkommen.  Physikalisch  betrachtet müßte man die drei Geomentrien (immer ihre gleichmäßige logische Widerspruchsfreiheit vorausgesetzt) in der Tat als drei mögliche  Hypothesen  bezeichnen, unter denen die euklidische sogar an innerer Wahrscheinlichkeit unendlich gegen die beiden anderen zurückstände, da jede von diesen unendlich viele gleichmögliche Einzelfälle einschließt und die euklidische nur den Grenzübergang zwischen den beiden Unendlichkeiten bildet. Aber die Entscheidung über diese Hypothesen würde eben der Physik zufallen. Die charakteristische Krümmungskonstante des objektiven Raums wäre, wie alle sonstigen Konstanten, nur durch zahlreiche Messungen mit Wahrscheinlichkeit bestimmbar. Bei dieser physikalischen Fragestellung handelte es sich dann nicht mehr um die Eigenschaften und Gesetze dreier verschiedener möglicher Räume, sondern um drei mögliche Eigenschaften von ein und demselben Raum, nämlich des vorauszusetzenden objektiven Analogons. Dies sind prinzipiell verschiedene, aber sehr häufig durcheinandergemengte Fragestellungen.

Geometrie im rein mathematischen Sinn (die ursprüngliche Wortbedeutung kommt dabei nicht in Betracht) will nur sagen, was aus gewissen Begriffen, wenn sie im Denken gesetzt werden, im Denken folgt, dies aber in der durchsichtigsten und zwingendsten Fassung sowohl der Begriffe als auch der Folgerungen, unabhängig von Feststellungen individueller Tatsachen und von Wahrscheinlichkeitsschlüssen aus solchen. "Physische Geometrie" (1) ist schon Physik.

Darum fällt meines Erachtens der berühmte Versuch, die Winkelsumme eines großen Dreiecks durch Messung, d. h. durch Schlüsse aus Beobachtungen, zu ermitteln, aus dem Rahmen der Geometrie heraus. Ebenso scheint mir aber auch schon die Fragestellung, die zu einem solchen Appell an die Beobachtung führte, keine geometrische zu sein; nämlich: ob geometrische Gebilde durch eine hinreichende Vergrößerung ihre Eigenschaften, etwa ihre Winkelsumme, verändern können, bzw. ob in einem solchen Fall vorher unmerklich Abweichungen zuletzt merkbar werden können. Die Frage läßt sich nur für physische Dinge aufwerfen. Selbst da ist sie vielleicht nicht so einfach zu formulieren. Immerhin leuchtet ein, daß bei Bewegungen über große Entfernungen hin ein vorher unmerklicher Einfluß von Kräften auf die Bahn des bewegten Körpers in Erscheinung treten kann, ebenso wie umgekehrt bei kleinen Entfernungen Kräfte auftreten können, die bei großen fehlen oder uns entgehen. Aber der Geometer als solcher hat nicht Veränderungen durch Kräfte zu untersuchen. Seine Gebilde existieren lediglich aufgrund ihrer Definition. Solange das Moment der absoluten Größe nicht direkt oder indirekt in die Definition aufgenommen ist, sind Unterschiede in dieser Beziehung irrelevant für die Beziehungen der Teile eines Gebildes untereinander.

Es gilt Analoges, wie für die Größe, auch für die Richtung und Lage. Man könnte z. B. fragen, ob es denkbar ist, daß ein räumliches Gebilde durch die bloße Drehung um eine Achse seine Größe verändert. Die Frage hätte Sinn wiederum nur für physische Dinge. Eine solche Veränderung kann hier als Folge bestimmter Kräfte eintreten. Es wären vielleicht sogar allgemeine Bewegungsgesetze denkbar, die das Volumen oder die Masse eines bewegten Teilchens abhängig setzten von Richtungs- oder Geschwindigkeitsänderungen seiner Bewegung (die Elektronenlehre führte auf solche Vermutungen). Aber Bewegungsgesetze sind nicht geometrische Gesetze. Die Größe einer Geraden kann nicht von ihrer Richtung oder Lage im Raum abhängen, weil keine Richtung oder Lage uns hindern kann und darf, eine einmal begrifflich definierte Größe als solche festzuhalen. (2)

Nachdem die Überzeugung allgemein geworden ist, daß auch die festesten physikalischen Gesetze, selbst die fälschlich so genannten "physikalischen Axiome", nicht geschützt sind gegen Umbildungen infolge fortschreitender Tatsachenforschung, hat man auch die geometrischen Voraussetzungen unter denselben Gesichtspunkt gestellt. Der Unterschied sei nur, daß sie bisher durch noch viel umfassendere Beobachtungen bestätigt seien als die mechanischen Grundgesetze. Ansich spreche nichts für sie außer der Bequemlichkeit, da man es natürlich mit den einfachsten Annahmen zuerst versucht. Vielleicht ist nun diese Bequemlichkeitstheorie selbst etwas - bequem. Jedenfalls möchte ich aber die Paralle bestreiten. Die geometrischen Prinzipien (ob man sie Axiome im eigentlichsten Sinn der Logik, d. h.  unmittelbar  einleuchtende Gesetze, nennen kann, bleibt auch für sie dahingestellt) sind nicht, wie die mechanischen, Voraussetzungen über ein Verhalten objektiver Dinge. Die daraus gezogenen Folgerungen bedürfen daher keiner Verifikation. Das Experiment wird gelegentlich als Vorläufer geometrischer Erkenntnisse benutzt (ARCHIMEDES' Wägungen von Parabelsegmenten). Aber daß ein "more geometrico" bewiesener Lehrsatz durch das Experiment widerlegt würde, ist ausgeschlossen,  nicht  wegen irgendeiner mystisch-urewigen Würde, sondern einfach weil die Gegenstände des Experiments nicht seine Gegenstände sind.

Es ist ebenso in allen übrigen Zweigen der Mathematik. In der Wahrscheinlichkeitslehre haben einige Forscher sich die Mühe gemacht, das Gesetz der großen Zahlen experimentell nachzuprüfen. Hätten sie aber dabei eine größere Abweichung in der Verteilung der Fälle gefunden, als das Gesetz selbst vorher zu berechnen gestattete, so hätte man gleichwohl nicht auf die Falschheit des Gesetzes geschlossen und ihm eine empirische Korrektur beigefügt, sondern man hätte den Grund der Abweichung in den zufälligen Umständen des Experiments gesucht, etwa in ungenügend homogener Struktur der individuellen von jenen Forschern benutzten Würfel, also in einer konstant wirkenden Ursache, die in einem Gesetz ausgeschlossen ist. (3) Analog würde man schließen, wenn Messungen mit geometrisch bewiesenen Lehrsätzen in Konflikt kommen.

Auch die Ansicht, geometrische Lehrsätze könnten allenfalls nur approximative Gültigkeit besitzen, ruht auf einer Verkennung ihres Gegenstandes. Genauigkeitsgrenzen gibt es nur in der Anwendung auf reale Fälle. Sind drei Geometrien einander koordiniert, so ist doch wieder jede von ihnen als solche absolut genau, die Winkelsumme des euklidischen ebenen Dreiecks beträgt z. B. absolut genau  2 R. (4)

In dieser Hinsicht unterscheidet sich die Geometrie durchaus nicht von der Arithmetik. Eine approximative Geometrie würde, solange wir Geometrie noch von Physik unterscheiden, nicht sinnvoller sein als die Behauptung,  2 x 2  ist nur annähernd  = 4.  Natürlich ist die Aufstellung von Annäherungsregeln für die Ausrechnung bestimmter Werte oder für Konstruktionen damit nicht ausgeschlossen; und es können darauf bezügliche Sätze, wie der von LEGENDRE über kleine sphärische Dreiecke, für praktische Anwendungen von größter Wichtigkeit sein. Auch kann es sich empfehlen, solche Übergangsbestimmungen, die die reine mit der angewandten Geometrie verknüpfen, in den Vortrag der reinen Geometrie einzuflechten. Aber sachlich bilden sie doch ein fremdes Element. Daß Konventionen wie diese: zwei Zahlen gleich zu nennen, wenn sie sich voneinander um weniger als eine noch so kleine vorgegebene Größe unterscheiden (WEIERSTRASS), der absoluten Genauigkeit der bestimmten auf sie gegründeten und sie einschließenden Lehrsätze keinen Eintrag tun, bedarf nach der Natur der Konventionen nicht der Begründung (5).

Aufgrund dieser Erwägungen können wir der neuerdings so oft vertretenen Auffassung, Geometrie sei eine Naturwissenschaft, die sich mit den Eigenschaften des realen Raums beschäftigt, nicht zustimmen.

Im Übrigen kommt auch hier der Unterschied zwischen Gegenstand und Zweck in Betracht, der schon bei den Erläuterungen über die Physik erwähnt wurde. Wer eine "physische Geometrie" als den eigentlichen Zweck aller geometrischen Untersuchungen ansieht, wird doch nicht umhin können, eine rein mathematische Geometrie als umfassende Vorarbeit für die physische zu fordern. (6) Und diese mathematische kann nicht durch den Zweck, sondern muß durch ihren Gegenstand definiert werden. Es ist also auch für den, der in der reinen Geometrie keinen Selbstzweck, sondern nur ein Mittel für physikalische, ja sogar nur für praktisch-technische Zwecke sehen will, der Gegenstand dieser Wissenschaft damit noch keineswegs als ein physikalischer Gegenstand erklärt.

3. Ihr Gegenstand ist aber  auch nicht der phänomenale Raum.  Einen Augenblick könnte man wohl daran denken, Geometrie in die oben charakterisierte Phänomenologie einzuordnen, als Lehre von den Strukturgesetzen des Erscheinungsraumes, als ein höchstentwickeltes, hybrides Glied jener sonst noch so jungen Disziplin. Für die übrigen mathematischen Fächer würde man dann, entsprechende Plätze unter der eidologischen Gruppe suchen müssen. (7) Das Gemeinsame der mathematischen Wissenschaften würde freilich auf diesem Weg in den Hintergrund treten.

Aber abgesehen davon läßt sich die Auffassung schon für die Geometrie in keiner Weise festhalten. Sie untersucht den phänomenalen Raum ebensowenig wie den realen. Sonst müßte sie vor allem die Erscheinungsräume des Tastsinns und des Gesichtssinns gesondert untersuchen, dann die Räumlichkeiten anderer Sinne, soweit sich auch da noch Analoges findet, sie müßte das Verhältnis dieser Räume näher bestimmen, müßte die Frage prüfen, ob die Erscheinungsräume nur zwei Dimensionen oder auch Tiefe besitzen, eventuell ob die dritte Dimension den beiden ersten ganz gleichsteht, ob wir z. B. die Dicke eines Körpers anschaulich vorstellen können, oder ob die darauf bezüglichen Ausdrücke nur etwas Unanschauliches, Begriffliches bedeuten usw. Dies alles sind Fragen der Raumphänomenologie. Und zwar beziehen sie sich natürlich nicht auf individuelle Raumerscheinungen, sondern auf Strukturgesetze der Erscheinungen. In sich selbst bilden sie eine wohldefinierte, wenngleich nicht ohne Physiologie und Funktionspsychologie durchzuführende, Untersuchungsgruppe. Nur gerade die Geometrie gehen sie nichts an. Ihr sind sie prinzipiell so fremd wie die Beschreibung der Klangfarben und die Klassifikation der Geschmäcke.

Der Erscheinungsraum besitzt dann auch tatsächlich nicht die Homogenität, die der Geometer verlangt. Er ist ferner begrenzt, und zwar sehr unregelmäßig begrenzt, beim Gesichts- wie beim Tastsinn; und dies ändert sich nicht etwa, wenn man die Erscheinungen zweiter Ordnung, die Inhalte anschaulicher Phantasievorstellungen, dazunimmt. Er erfüllt auch nicht die Forderung "freier Beweglichkeit" (genauer ausgedrückt: der Vergleichbarkeit der Gebilde unabhängig von Lage und Richtung), insofern z. B. ein auf eine Ecke gestelltes Quadrat als Erscheinung wesentlich modifiziert ist (8). Oben und Unten, Rechts und Links sind im Erscheinungsraum absolute, unvertauschbare Unterschiede. Der Erscheinungsraum hat einen absoluten Mittelpunkt usw. (9)

4. Alle diese irdischen Mängel oder Vorzüge (Mängel vom geometrischen, Vorzüge vom praktischen Standpunkt) sind im geometrischen Raum getilgt. Er ist in Anbetracht dessen überhaupt keine Anschauung, weder im Sinn eines empirischen Anschauungsinhaltes noch einer apriorischen Anschauungsform, sondern er ist ein aus dem empirischen Anschauungsinhalt durch Definitionen gebildeter Gegenstand. Für ihn ist die Dimensionenzahl, zwei, drei oder mehr, etwas Zufälliges. Für ihn gibt es kein Rechts und Links, sondern nur etwa eine Plus- und Minusseite in Bezug auf einen Punkt einer Geraden, die miteinander vertauschbar sind und mit der Lage dieser Geraden selbst nichts zu tun haben. Wesentlich dagegen sind ihm gewisse Postulate, darunter in erster Linie die absolute Homogenität aller Teile und die Stetigkeit.

Hiermit entsteht nun freilich die Forderung befriedigender Erläuterungen dieser Begriffe. Man kann dazu zwei Wege einschlagen: indem man entweder durch eine Zergliederung der in den geometrischen Lehrsätzen enthaltenen Begriffe, durch eine Reduktion auf möglichst wenige Grundbegriffe und durch die möglichste Verallgemeinerung dieser Grundbegriffe die Kombination relativ einfachster Merkmale feststellt, mit denen der Geometer tatsächlich arbeitet (diesen analytisch-regressiven Weg pflegen die Mathematiker zu beschreiten), oder indem man von der Wurzel ausgeht, aus der sicherlich unsere geometrische Begriffsbildung ihren Ausgang genommen hat, von dem Erscheinungsraum, und nun die begrifflichen Operationen aufzeigt, wodurch hieraus der geometrische Raum bzw. die geometrischen Raumgebilde entstehen (10).

Das Fruchtbarste wäre die Verbindung beider Wege. Solange wir aber noch des gleichmäßig und umfassend geschulten Kopfes harren, der hierzu imstande wäre, werden immer Diskrepanzen im Hinblick auf die geometrischen Prinzipienfragen bestehen bleiben.

Gehen wir den letzten, dem Psychologen näher liegenden Weg, so ist soviel sicher, daß der geometrische Körper im Bewußtsein früher da ist als Fläche, Linie, Punkt, und daß er aus der Vorstellung des physischen Körpers entsteht, wie sie durch das gemeine Leben bei allen normalen Menschen entwickelt wird. Der erste Schritt muß in der Abstreifung alles Qualitativen durch die Abstraktion liegen. Die Farbigkeits- und Helligkeitsmerkmale, ebenso die Berührungsqualität beim Tastsinn, sind in der anschaulichen Erscheinung unzertrennlich mit den Raumeigenschaften verbunden. Folglich wird schon durch dieses Absehen die Vorstellung eine unanschauliche, ein Abstraktum. Ein Allgemeinbegriff ist dieses Abstraktum noch nicht  eo ipso  [schlechthin - wp], doch ist damit auch die unmittelbare Grundlage der Begriffsbildung gegeben. Es wird ferner abgesehen von allen sonstigen Verschiedenheiten empirischer Körper, der Dichtigkeit, den Aggregatzuständen, dem Widerstand gegen Muskelarbeit und gegen das Eindringen anderer Körper usw. So bleibt nur die allgemeine Form der Ausdehnung übrig, ein abstraktes Schema, wie es KANT bei seinen Thesen über die "reine Anschauungsform des Raums" im Sinn hatte: nur daß von einem Apriori, solange wir nicht zu Urteilen übergehen, in keiner Weise gesprochen werden kann. Die Teile dieses Raumes sind nunmehr unter sich absolut  homogen,  d. h. wir entschließen uns eben, von allen anderen Unterschieden abzusehen als denen, die durch das Nebeneinanderliegen selbst gegeben sind, den örtlichen (11).

Daß diese Teile Stetigkeit besitzen und daß sie aneinandergrenzen, also der Raum ein stetiges Ganzes bildet, ist, wie mir scheint, nicht eine besonders hinzukommende Forderung oder Voraussetzung, sondern eine aus der Natur dieses bestimmten abstrakten Vorstellungsinhaltes schon fließende, mit ihr unweigerlich gegebene Eigenschaft. Wir können sagen, die Stetigkeit wird durch eine denkende Vergegenwärtigung desselben unmittelbar erkannt. Dies nennen wir eine intuitive oder unmittelbar apriorische Erkenntnis. Ein Erfahrungswissen, das sich in allgemeinen Sätzen aussprechen ließe, ergibt sich niemals aus der bloßen Vertiefung in die Natur des Vorstellungsinhaltes; es kann nur durch Schlüsse (Wahrscheinlichkeitsschlüsse) aus der Wiederholung bestimmter Wahrnehmungen abgeleitet werden. In unserem Fall dagegen spielt die Anzahl der Beobachtungen keine Rolle. Hier beginnt also, mit dem Eintreten von Urteilen, die dem Raum gewisse Eigenschaften zuerkennen, zugleich das Apriorische. Ob man es synthetisch- oder analytisch-apriori nennen soll, kann hier dahingestellt bleiben; da aber die Eigenschaft als in der Natur des Vorstellungsinhaltes liegend erkannt wird, wird es in dieser Hinsicht jedenfalls analytisch heißen müssen.

Das gleiche wie für die Stetigkeit gilt aber auch für die Unendlichkeit des geometrischen Raums, d. h. die Eigenschaft, daß die Anzahl der einander so nebengeordnet zu denkenden Teile (deren jeder nicht als Punkt, sondern als Körper von übrigens beliebiger Größe, nur unter allen genannten Abstraktionen, gedacht wird) keine endliche sein kann. Trotz der RIEMANNschen Unterscheidung scheint mir dies, solange wir uns an die aus dem Erscheinungsraum in obiger Art abgeleitete Vorstellung halten, die noch im eigentlichen Sinn Raum genannt wird, ebenso zu liegen, wie etwa bei den Zahlen und den Tönen (12). Daß innerhalb des Raumes in sich wiederkehrende Gebilde möglich sind, tut der zwingenden Notwendigkeit keinen Eintrag, mit er wir den gedachten Raum selbst ins Unendliche fortsetzbar denken müssen. (13)

Man schreitet nur durch Forderungen oder, was dasselbe ist, durch Voraussetzungen oder Definitionen weiter. Unter diesen hinzukommenden Forderungen braucht wohl kaum die absolut starrer Begrenzungen aufgeführt zu werden. Denn da den Raumgebilden ihre Begrenzungen durch die Definitionen vorgeschrieben sind, so liegt darin schon die Unabhängigkeit von jeder Verschiebung im Raum, solange nur die Definition nicht verschoben wird. Was die Verschiebungen, Um- und Aufeinanderlagerungen zu Zwecken der Beweisführung anlangt, so werden diese von der neueren Geometrie ohnehin immer mehr als ein unnötiges Hilfsmittel der Beweisführung ausgeschieden. Freie Beweglichkeit dürfte daher, wie Beweglichkeit überhaupt, nicht zu den Erfordernissen des geometrischen Gebildes gehören. Was damit gemeint ist, reduziert sich auf die Vergleichbarkeit der Gebilde unabhängig von Lage und Richtung, einen Begriff, der mit dem der Bewegung im physikalischen Sinn nichts gemein hat.

Die wichtigste Maxime für Definitionen, durch welche die Geometrie überhaupt erst möglich wird, ist die der Vereinfachung der Begrenzungen. So entsteht der Begriff des zwei- und eindimensionalen Gebildes, der Geraden, der Ebene usw. Nur durch solche Vereinfachungen oder Idealisierungen wird es möglich, zu gesetzlichen Beziehungen zu gelangen. Die Vereinfachungen werden zunächst auf das Äußerste getrieben, später, nachdem die Gesetze der schlechthin einfachsten Gebilde gefunden sind, allmählich stückchenweise wieder aufgehoben.

Hiernach läßt sich der Gegenstand der Geometrie so bestimmen: es ist nicht der reale, auch nicht der phänomenale Raum, sondern es sind  die durch Abstraktionen und Definitionen aus dem Erscheinungsraum gewonnenen, begrifflich gedachten, homogenen Raumgebilde.  Es sind Begriffsinhalte beteiligt, nicht bloß, wenn von DESCARTES das Tausendeck, sondern auch schon, wenn vom Kreis und vom rechten Winkel die Rede ist. Daß diese Begriffe zuletzt aus konkreten Anschauungen stammen, ist ihnen mit allen anderen gemein.

Ich möchte Gewicht darauf legen, daß nicht eigentlich der geometrische Raum selbst, sondern die innerhalb desselben möglichen Raumgebilde der Gegenstand sind. Alles, was die Geometrie aussagt, und alle Konstruktionen, die sie vornimmt, betreffen immer Raumgebilde, nie den Raum selbst, der gewissermaßen nur die Möglichkeit solcher Gebilde ist.

Die Raumgebilde des Geometers sind physisch, wenn man so die Gegenstände nennen will, die aus Erscheinungsmaterial im Denken gebildet sind. Aber sie sind nicht physische Gegenstände in einem vorher definierten Sinn, nicht Gegenstände der Physik. Man kann nur sagen, sie sind deren unmittelbare Vorfahren. Der roh-empirische Körper geht durch den geometrischen in den physischen (physikalischen) über. Wenn man die Gegenstände der mathematischen Physik als Gespenster bezeichnet hat, so haben sie diese Natur von ihren geometrischen Eltern. Die Physik bereichert sie durch Merkmale wie Undurchdringlichkeit oder Trägheit. Nimmt sie bloße Punkte als Kraftzentren, so bleibt doch für die Darstellung der wechselnden räumlichen Beziehungen Geometrie die Grundlage. Im übrigen folgt der Physiker dem Beispiel des Geometers darin, daß er die an den Erscheinungen zu prüfenden Gesetzlichkeiten zunächst an möglichst vereinfachten Gebilden, absolut elastischen oder unelastischen, absolut nicht leitenden, absolut schwarzen Körpern und dgl. entwickelt. Dadurch allein werden sie eben einer mathematischen Behandlung zugänglich.

5. Aus der Erkenntnis, daß es sich bei den Gegenständen der Geometrie nicht um Anschauungen im phänomenalen Sinn, sondern um begriffliche Umformungen handelt, fließt die interessante Verallgemeinerung, die den Gesetzen der Geometrie neuerdings gegeben ist. Sie lag von jeher in der Konsequenz ihres Gegenstandes. Denn wenn man ihn so versteht, erscheint die phänomenale Raumvorstellung, sei es des Gesichts- oder des Tastsinns, nur als ein zweckmäßiger, sachlich aber zufälliger Ausgangspunkt. Die abstrakten Beziehungen, auf die es allein ankommt, müssen sich überall herausstellen, wo gleiche Forderungen an irgendein Material gestellt und von ihm in gleicher Weise erfüllt werden, mit anderen Worten: wo irgendein stetiges Ganzes von homogenen Teilen vorliegt. Hierbei muß das Merkmal der Stetigkeit besonders erwähnt werden, weil nicht selbstverständlich ist, daß alles Homogene diese Eigenschaft besitzt, obgleich sie beim Raum aus der Natur dieser besonderen Vorstellung fließt. Ich möchte dahingestellt sein lassen, ob auch die Unendlichkeit besonders erwähnt werden muß oder ob diese nicht doch mit der Homogenität schon unabtrennbar gegeben ist.

Seit RIEMANN pflegt man in diesem Sinne von "Mannigfaltigkeiten" zu sprechen und den Raum nur als eine besondere Art der Mannigfaltigkeit zu bezeichnen. (14) Wir können nur auch allgemeiner sagen: Geometrie sei die Wissenschaft von den Strukturgesetzen der in irgendeiner homogenen Mannigfaltigkeit möglichen Gebilde. Dabei kann homogen im allgemeinsten Sinn das heißen, dessen Teile sämtlich durch eine einzige Veränderungsweise ineinander übergehen (bzw. nur eine einzige Art von Unterschieden aufweisen).

So gefaßt ist die Geometrie der Mannigfaltigkeiten außer dem Raum nicht etwa eine Übertragung geometrischer Gesetze auf ein ansich ihnen fremdes Material, eine Übertragung, die sich nur zufällig auch dort bewährte oder jeweils einer besonderen Prüfung bedarf, sondern sie ist von vornherein ein und dieselbe Wissenschaft, weil sie ein und denselben abstrakten Gegenstand besitzt.

Es scheint mir nun aber sehr fraglich, ob in Wirklichkeit außer dem Raum irgendein Gegenstand von mehr als einer Dimension namhaft gemacht werden kann, der streng unter den obigen Begriff fällt. Nur für eindimensionale Mannigfaltigkeiten wird man leicht namentlich in physikalischen Begriffen Beispiele finden; für zweidimensionale allenfalls auf dem Gebiet der Zahlen, wenn man die komplexen Zahlen als zweite Dimension bezeichnen will. Die mehrfachen Dimensionen, von denen die Physik seit FOURIER spricht, sind dagegen gerade durch ihre Nicht homogenität charakterisiert (Weglänge, Zeit, Masse). Desgleichen die Dimensionen der Empfindungsinhalte: Qualität, Intensität usw., in denen man innerhalb des reinen Erscheinungsgebietes Analogien zu den Raumdimensionen suchte. Neuerdings unterschied man auch noch innerhalb einer dieser Erscheinungseigenschaften, bei den Qualitäten der Farben, mehrere Dimensionen (wegen der verschiedenen Hauptfarbenpaare) und sprach hiernach von einem Farbenkörper: aber man stößt dabei auf Schwierigkeiten, die zeigen, daß es sich hier doch nur um eine Übertragung handelt, bei der man nicht im Voraus weiß, wei weit man damit kommt. Bei den Tonqualitäten bietet der geradelinige Fortgang von der Tiefe zur Höhe ein schönes Beispiel einer nur eindimensionalen Mannigfaltigkeit. Aber selbst hier ist es fraglich, ob die Distanzen auf dieser Geraden, wenn sie auch bezüglich ihrer Größe vergleichbar sind, durchweg wie räumliche Strecken behandelt werden können. Die Tondistanz wird uns in der Erscheinung gegeben durch die bloßen Endpunkte (sei es simultan oder sukzessiv), sie kann allenfalls auch ihrer ganzen Ausdehnung nach durchlaufen werden: die Raumstrecke aber ist gegeben durch die simultane Gegenwart der sämtlichen auf ihr unterscheidbaren Punkte. Daraus ergeben sich weitere Unterschiede, infolge deren die sogenannte Linie der Tonqualitäten durch wahrscheinlich niemals auch nur zu einer Liniengeometrie geführt hätte. Wir wollen nicht auch auf die Zeitlinie eingehen, die noch besondere Schwierigkeiten einschließt. (15)

Aus diesen Betrachtungen scheint mir hervorzugehen, daß die verallgemeinerte Fassung des Gegenstandes der Geometrie zwar theoretisch richtig und lehrreich ist, ihre Anwendung aber in Wahrheit mehr auf die bloße Übertragung als auf eine wirkliche Subsumtion unter den gemeinschaftlichen Begriff hinausläuft. Der Nutzen der verallgemeinerten Fassung liegt nicht so sehr in der Anwendbarkeit auf zahlreiche unräumliche Gegenstände als in der schärferen Erkenntnis der begrifflichen Natur der geometrischen Raumgebilde selbst.

6. In der Eigentümlichkeit des so bestimmten Gegenstandes, und zwar im ersten und unentbehrlichsten Merkmal der absoluten Homogenität, muß nun auch die durchgängig  apriorische Methode  wurzeln, die Möglichkeit also, aus einmal definierten Begriffen fort und fort neue Lehrsätze abzuleiten, ohne daß an irgendeinem Punkt Beweisgründe oder verifizierende Tatsachen aus der Wahrnehmung zu Hilfe genommen werden müßten. (16)

In seiner vorkritischen Schrift "Untersuchung über die Deutlichkeit der Grundsätze der natürlichen Theologie und Moral" leitete KANT die Gewißheit der mathematischen Erkenntnis gegenüber der philosophischen daraus her, daß ihre Gegenstände nicht gegeben sind, sondern erst durch Definitionen entstehen. Erst später hat er selbst erkannt, daß hierin doch nicht die letzte Wurzel des Unterschieds liegen kann. In der Tat sind ja viele Gegenstände durch willkürliche Definitionen herstellbar (selbst logisch widersprüchliche), ohne daß immer eine apriorische Wissenschaft davon möglich ist. Es kommt daruf an, welche Grundeigenschaften den willkürlich zu bildenden Gegenständen beigelegt werden. KANTs spätere Lehre von Raum und Zeit als apriorischen Anschauungsformen war wesentlich darauf eingerichtet, diese Lücke zu füllen. Aber hierin ist er von einer fruchtbaren Auffassung des Wesens der Mathematik noch weiter abgewichen. Der eingehenden Kritik COUTURATs (17) kann ich in allen wesentlichen Punkten nur zustimmen. In der Frage nach den geometrischen Axiomen sind wir durch diese Lehre nicht einen Schritt weiter geführt. Dagegen enthält KANTs frühere Fassung, die ja auch in der späteren nachwirkt, sicherlich ein richtiges Moment: homogene Gegenstände sind eben nirgends gegeben, sie können nur durch Definitionen frei geschaffen werden. Aber freilich nicht darin, daß irgendetwas definitorische  geschaffen  wird, sondern darin, daß der Gegenstand der Geometrie als absolut  homogener  geschaffen wird: darin liegt der fruchtbare Kern, aus dem der ganze Baum erwächst. Von apriorischen Formen in KANTs Sinn ist dabei nichts erforderlich: wir brauchen als Ausgangspunkt der Begriffsbildung nur die konkreten Sinnesempfindungen, die der heutigen Psychologie gemäß ihre räumliche Ausdehnung und Anordnung ganz ebenso wie ihre Qualität inhaltlich mitbringen. Die Begriffsbildung selbst aber erfolgt durch fortschreitende Abstraktion und Generalisation wie überall.

Daß diese Herleitung der geometrischen Grundbegriffe aus der Anschauung mit einer Herleitung der geometrischen  Sätze  aus der Anschauung nicht das Geringste zu tun hat, muß auch heute noch manchem in Erinnerung gebracht werden. Eine der verhängnisvollsten Verwechslungen, von der die Erkenntnistheorie sich erst allmählich befreit, ist die der Fragen nach dem Ursprung der Begriffe und nach der Herleitung von Erkenntnissen. Zwei Begriffe könnten nicht bloß im kantischen Sinn  a priori,  sondern sogar in der krassesten Wortbedeutung angeboren sein, und es könnten doch die daraus zu bildenden Urteile, die eine Zusammengehörigkeit dieser Begriffe behaupten, nur induktiv durch Schlüsse aus vielen Einzelwahrnehmungen als wahr erkannt werden. (18) Dies ist tatsächlich in der Geometrie der Fall. In jeder strengen Darstellung dieser Disziplin wird gegenwärtig darauf Gewicht gelegt, daß die  Beweisführungen  als solche in keiner Weise auf die Anschauung begründet werden, der sich nur auf das Zeugnis der Anschauung berufen würde; weshalb dann auch jene alten Operationen des Umlegens usw. immer mehr durch rein begriffliche Formeln ersetzt werden (19).

Unentbehrlich ist die Raumanschauung nur zur Begriffsbildung. Hier allerdings halte ich es nicht für möglich, daß jemand, dem die sinnlich-konkrete Raumvorstellung (sei es des Gesichts- oder eines anderen Sinnes) gänzlich fehlte, beispielsweise die so fein ziselierten Definitionen DAVID HILBERTs verstände. Die "Mannigfaltigkeiten", die außer dem Raum als konkrete Unterlagen solcher Definitionen etwa zur Verfügung stehen, würden nach dem vorhin Bemerkten diesen Dienst kaum genügend leisten können. Auch beim Operieren mit den einmal definierten Begriffen wird die Beihilfe der Anschauung immer wieder erforderlich sein, nicht um etwas daraus abzuleiten, sondern um die Begriffe sozusagen am Leben zu erhalten. Die Bedeutung der Anschauung für das geometrische Denken ist dabei wieder keine andere als die aller konkret-sinnlichen Vorstellungen für das Denken der aus ihnen mehr oder weniger künstlich gebildeten Begriffe. Genügend geklärt ist sie freilich weder im speziellen noch im allgemeinen Fall. (20)

Inwiefern und wodruch nun die durch Definition gesetzte absolute Homogenität des Gegenstandes die apriorischen Ableitungen der Geometrie ermöglicht: auch das bedürfte wohl noch sehr der genaueren Untersuchung. Es liegt in der genannten Eigenschaft begründet,  erstens,  daß niemals irgendein Exemplar einer geometrisch definierten Spezies gegeben sein kann, das uns zwänge, den Begriff aufzugeben oder umzuformen. Wir können uns aus vielen Gründen veranlaßt sehen zur Umbildung, Erweiterung, Verengung geometrischer Begriffe. Aber niemals kann die Beobachtung eines neuen individuellen Exemplars uns dazu nötige, wie solches in der Naturforschung, zumal der organischen, so oft der Fall ist. Denn der geometrische Begriff ist unser Geschöpf, und in jeder Definition ist zugleich die allgemeinste Voraussetzung eingeschlossen, daß das Gebilde bis in die kleinsten Teile hinein homogen sein soll, daß also nicht etwa ein bisher übersehener Teil an einem neuen Exemplar oder bei erneuter, aufmerksamerer Beobachtung uns eine Überraschung bereiten kann. Es liegt  zweitens  in jener Eigenschaft begründet, daß jeder Teil des Raums für jeden anderen eintreten kann, daß es gleichgültig ist, ob wir uns den Kreis hier oder dort, nah oder fern von unserem zufälligen Standpunkt denken, gleichgültig auch, ob wir ihn klein oder beliebig groß denken.

Aber diese Bemerkungen liegen ander Oberfläche. Eine logisch befriedigende Methodologie der Geometrie ist noch nicht geschrieben. Sie hätte nicht bloß zu zeigen, wie die rein aus Begriffen fließenden notwendigen und allgemeinen Erkenntnisse, sondern insbesondere, wie die unendliche  Fülle  dieser Erkenntnisse in der Natur des Gegenstandes wurzelt, wie das absolut Homogene durch die Unerschöpflichkeit der darin mit gesetzten Beziehungen der Teile den großen Zusammenhang von Erkenntnissen ermöglicht, den wir erst als Wissenschaft bezeichnen. Unsere Bemerkungen sollten nur andeuten, wie wir uns etwa die Ableitung für die Sonderstellung der apriorischen Wissenschaften aus der Besonderheit ihrer Gegenstände vorstellen.

Auf die mathematischen Disziplinen außer der Geometrie soll hier nicht eingegangen werden. Es dürfte sich zeigen lassen, daß ihre Gegenstände gleichfalls durch das Grundmerkmal der Homogenität ausgezeichnet sind, wenn das Wort in seinem allgemeinsten Sinn verstanden wird. Dieses Merkmal wird auch ihnen durch die Definitionen zuerkannt, durch die sie überhaupt entstehen. Das Merkmal der Stetigkeit kommt ihnen nicht allgemein zu. Wie aber die Gegenstände der Zahlenlehre und der Analysis ihrem spezifischen Wesen nach im Unterschied von den Gegenständen der Geometrie am genauesten definiert werden, ist eine Frage, die wir den Mathematikern oder mathematisch geschulteren Philosophen überlassen müssen.


VIII. Seiendes und Seinsollendes.
Theoretische und praktische Wissenschaften.

Auch hier liegt ein gegenständlicher Unterschied vor, wenn man den Begriff  Gegenstand  so weit faßt, wie wir es verlangen. Unter Seiendem verstehen wir hier nicht bloß Reales, sondern jeden Gegenstand eines wahren Urteils. Seinsollend nennen wir Werte, insofern sie einem Wollen als Ziel gesetzt werden können, mit anderen Worten: insofern sie noch nicht verwirklicht, sondern der Verwirklichung fähig sind. Daß sie der Verwirklichung würdig sind, liegt im Begriff des Wertes selbst. Das Unterscheidende aber gegenüber anderen Werten ist eben die Fähigkeit, noch verwirklicht zu werden  (prakton agathon  [das erreichbare Gute - wp]). Von Werten im allgemeinen nun handelt ein Abschnitt der Eidologie. Werte, soweit sie bereits verwirklicht sind, lehrt die Menschengeschichte kennen, wenn sie auch nicht durch dieses Merkmal definiert werden kann. Die praktischen Disziplinen dagegen lehren gerade die Verwirklichung von Werten. Sie sind Anweisungen; Anweisungen allerdings nicht bloß im nüchternen Sinn des gewöhnlichen Sprachgebrauchs, sondern auch im Sinn von FICHTEs "Anweisung zum seligen Leben".

ARISTOTELES, der den Unterschied zuerst aufstellte, fügte noch die poietischen Wisenschaften hinzu, die er gegen die praktischen dadurch abgrenzte, daß die zu erreichenden Ziele (Werte) bei diesen in den Akten des Wollens und Handelns selbst, bei jenen aber in den äußeren Werken liegen. Später hat man beide Gruppen unter dem Namen praktische Ziele zusammengezogen und nur unter diesen selbst solche unterschieden, die auf ein äußeres Ziel, wie die Herstellung von Bauwerken oder Maschinen, und die auf ein inneres Ziel, wie die Bildung des Charakters oder des Geschmacks oder des logischen Denkens, gerichtet sind.

Der Unterschied der praktischen gegenüber den theoretischen Wissenschaften ist prinzipiell ein höchst wesentlicher und durchgreifender. Denn die ganze Behandlung, die Auswahl und Anordnung des Stoffes gestaltet sich verschieden. Die theoretische Wissenschaft verlangt in einem viel strengeren Sinn Einheitlichkeit. Ihre Untersuchungen und Lehrsätze sind durch das Band gleichartiger Vorstellungen und Begriffe zusammengehalten; die der Geometrie z. B. durch die wenigen an der Spitze stehenden Begriffe, die der Physik durch die physikalischen Grundbegriffe, wenn sie sich auch im Laufe der Zeit unter dem Zwang neuer Tatsachen verändern.

Auch die Methoden der Untersuchung und des Beweises sowie das dazu herangezogene Material sind in allen Teilen einer theoretischen Wissenschaft wesentlich gleichartig. Anders bei einer praktische. Die Baukunde macht Anleihen bei der Mechanik, Mineralogie, Geologie, Chemie, Kunstgeschichte, wo immer sie für den Architekten Nützliches findet.

Ursprünglich sind wohl alle theoretischen Bestrebungen aus praktischen hervorgegangen. Später aber kehrt sich das Verhältnis um: in ihren höheren Formen setzt alle Praxis Theorie voraus. Wegen dieses Abhängigkeitsverhältnisses pflegt man vielfach praktische Disziplinen denjenigen theoretischen als "angewandte" zuzuordnen, aus denen sie ihre Grundlagen hauptsächlich entnehmen: Geodäsie der Geometrie, Pharmazeutik der Chemie, Maschinenlehre der Physik, Pädagogik der Psychologie, Therapie der Pathologie.

Viele praktische Disziplinen haben aber ihr selbständiges Hauswesen gegründet, indem sie selbst in die erforderlichen theoretischen Untersuchungen in einem solchen Maß eingetreten sind, daß sie den Mutterwissenschaften wieder neue Anstöße zu geben vermochten. Die Elektrotechnik ist ein glänzendes Beispiel.

Die Zahl der praktischen Wissenschaften ist Legion, unbegrenzt wachsend wie die Wege und Ziele menschlicher Kultur. Was in den vier oder fünf Universitätsfakultäten, deren jede theoretische wie praktische Fächer umschließt, was in den technischen, landwirtschaftlichen, Handelshochschulen, Bergakademien, Kriegsakademien, Kunst- und Kunstgewerbeschulen usw. an praktischen Fävhern vorliegt, entzieht sich der Klassifikation. Man kann nur sagen daß die Vielheit auch hier unter verschiedenen Gesichtspunkten verschiedene Zusammenfassungen gestattet. Dagegen könnte man nach oben hin wohl von einer allgemeinsten praktischen Wissenschaft reden, wie sie PLATO und ARISTOTELES in der  Politik  im Auge hatten und wie sie Neueren unter dem Titel der "sozialen Ethik" vorschwebt. Sie wäre das praktische Seitenstück der Metaphysik, wie sie dann auch gleich dieser ihr Haupt noch stark in Wolken verbirgt.

Man hat gelegentlich den Begriff einer praktischen Disziplin, abweichend von der hier zugrunde gelegten Auffassung, in der Weise zugespitzt: sie habe nur zu lehren, wie etwas gemacht wird und am besten gemacht wird, sie habe aber in keiner Weise Werturteile abzugeben. Pädagogik hat nichts mit Ethik zu schaffen, Baukunde, Kompositionslehre, Poetik nichts mit Ästhetik. Der Pädagoge muß nur wissen, worin die individuellen Anlagen bestehen, wie jede entwickelt oder unterdrückt werden kann, der Architekt nur, wie Wohnhäuser und Kirchen irgendeinem Stil gemäß gebaut werden. Daß der Zögling gut, die Kirche schön ausfällt, wird zwar von ihnen gleichfalls verlangt, gehört aber nicht in ihre Wissenschaft, weil sich über Schönheit und Güte überhaupt nichts lehren läßt. In der Politik hat schon ARISTOTELES im Kapitel über den Tyrannen ein unvergleichliches Musterbeispiel einer vom Wert und Unwert der Ziele absehenden Kunstlehre gegeben.

Ernsthaft eine ganze Wissenschaft in dieser Weise durchzuführen, ist aber noch niemandem eingefallen. Für ARISTOTELES ist Politik doch zuletzt nur Ethik in großem Stil; und selbst im genannten Abschnitt kann er sich nicht enthalten, ganz nebenbei in zwei Worten einfließen zu lassen, daß alle seine Anweisungen für den Tyrannen "von Schlechtigkeit durchdrungen" sind. MACHIAVELLI macht ganz bestimmte ethische Voraussetzungen, indem er eben die Macht des Fürsten als unbedingt wertvoll betrachtet. Der Architekt, der ein stilvoll romanisches Haus auf geschmacklose Weise in die Umgebung hineinsetzt, erfüllt seine Aufgabe schlecht. Und welcher Pädagoge würde mit Passion der zweckmäßigsten Heranbildung von Schurken nachsinnen. Zweckmäßig im allgemeinen Sinn heißt zwar nur das, was geeignet ist, zu irgendwelchen beliebigen Willenszielen hinzuführen. Aber zweckmäßig in dem Sinne, wie es die praktischen Wissenschaften verstehen, involviert stets den Begriff eines wertvollen zum Unterschied von einem wertlosen oder unwürdigen Ziel. (21)

Es ist wohl richtig, daß über den Wert der Ziele, zu deren Verwirklichung eine Kunstlehre anleitet, innerhalb dieser selbst meistenteils nicht viele Worte gemacht werden. Man setzt eben beim Adepten einer solchen Wissenschaft von vornherein die Überzeugung voraus, daß es sich um Menschenwürdiges handelt und daß er im Einzelfall hinreichend Geschmack oder sittliches Gefühl besitzen wird, um die erworbenen Kenntnisse in der fraglichen Richtung zweckgemäß anzuwenden. Aber aus dem Begriff praktischer Wissenschaften, wie sie nun einmal tatsächlich aufgefaßt und betrieben werden, läßt sich dieses Element so lange nicht entfernen, wie der Name  Wissenschaft  selbst eines der unbestrittensten Güter der Menschheit bezeichnet.


IX. Rückblick. Allgemeinste Gegenstände.
Philosophie.

In den vorstehenden Unterscheidungen dürfte das Wesentlichste beschlossen sein, was die gegenwärtigen Wissenschaften bezüglich ihrer Gegenstände und, im Zusammenhang damit, ihrer Interessenrichtung und ihrer Methoden voneinander scheidet. Die Einteilungen kreuzen sich in vielfacher Weise. Es gibt theoretische wie praktische, Tatsachen- wie Gesetzeswissenschaften sowohl unter den Natur- wie unter den Geisteswissenschaften usw. Infolgedessen erhalten wir nicht eine gleichsam genealogische Tabelle so einheitlicher Art, wie sie die weitverzweigten Wissenschaftsstammbäume bei AMPÉRE (22), WUNDT (23) oder MÜNSTERBERG (24) darbieten. Auf ein so einheitlich durchgeführtes Wissenschaftssystem muß man, wie mir scheint, verzichten, wenn man eine  natürliche  Ordnung anstrebt; analog wie Pflanzen und Tiere in natürlichen Systemen nicht nach einem einzigen Grundmerkmal, nur durch dessen immer speziellere Differenzierungen, in Ordnungen, Gattungen und Arten geschieden werden. Das Charakteristische einer Wissenschaft kann nach dem einen Prinzip verschwinden oder nur durch späte Untereinteilungen zutage kommen, während es nach einem anderen Prinzip sogleich in hellste Beleuchtung tritt. Gewiß wäre es z. B. ansich möglich, die mathematischen Wissenschaften als Wissenschaften von Strukturgesetzen unter die Gesetzeswissenschaften zu subsumieren und sie so als bloße Unterart unter eine Gattung der zweiten Einteilung bringen. Aber die Besonderheit dieser Unterart müßte doch gebührend hervorgehoben werden, nämlich daß es sich nicht um Strukturgesetze äußerer Gegenstände und ebensowenig um solche der Erscheinungen handelt, sondern um Strukturgesetze künstlich gebildeter homogener Gegenstände. Gerade diese Besonderheit hat nun so gewaltige Unterschiede des ganzen Aufbaus und der Beweisführung zur Folge, daß der so entstehende Wissenschaftskomplex nicht zweckmäßig als bloße Unterart in einem Winkel des Gebäudes untergebracht wird. Dagegen kommt wieder die Besonderheit der menschlichen Geschichte nur zur genügenden Geltung, wenn man die Unterscheidung von Tatsachen- und Gesetzeswissenschaften als eine fundamentale betrachtet.

Für die Praxis hat diese Methode auch den Vorteil, daß die einzelnen Hauptwissenschaften, um zu ihrer Definition zu gelangen, nicht nötig haben, den ganzen Stammbaum herzusagen und sich auf ihre Stellung und Nummer darin zu beziehen, sondern daß sie mit einem einzigen Unterscheidungsmerkmal und höchsten einer Untereinteilung schon am Ziel sind.

Natürlich kann man zu bestimmten Zwecken auch noch andere Gesichtspunkte einführen. Handelt es sich z. B. um die Entwicklungsgeschichte der Wissenschaften, um die zeitliche Reihenfolge, in der die verschiedenen Disziplinen einen gewissen Reifezustand erlangen, so ist offenbar der Umstand besonders ausschlaggebend, ob sie es mit einfacheren oder verwickelteren Gegenständen zu tun haben. COMTEs "Hierarchie der positiven Wissenschaften" enthält in dieser Richtung sehr viel Wahres, nur daß auch sie zu schablonenhaft durchgeführt ist. Die Selbständigkeit des psychischen Gebietes wird ganz ignoriert. Die Gegenstände der Wissenschaften liegen nicht wie konzentrische Kreise um einen einzigen Mittelpunkt, sondern bilden mehrere Wellensysteme, die von selbständigen Mittelpunkten ausgehend sich schneiden.

Handelt es sich nur um eine übersichtliche und sachgemäßge Anordnung der Mannigfaltigkeit der vorliegenden Wissenschaftszweige in ihrer augenblicklichen Form, dann dürften die angegebenen Gesichtspunkte das Wesentlichste erschöpfen - mit einer Ausnahme. Es fragt sich: wo bleibt bei dieser Teilung der Erde die  Philosophie  als einheitliche Wissenschaft? Stücke von ihr sind uns da und dort begegnet, wie Psychologie, Metaphysik, Erkenntnistheorie, Ethik. Aber was hält sie unter sich zusammen und mit den übrigen zur Philosophie gerechneten Disziplinen zusammen?

Gelänge es nicht, irgendein vereinigendes Merkmal zu finden, so würden wir damit auf den Standpunkt des ARISTOTELES zurückkommen. So sehr er auf große Zusammenfassungen bedacht ist, hat er doch keine einheitliche Definition von dem, was wir heute Philosophie nennen.

Indessen läßt sich der sachliche Berührungspunkt all unserer philosophischen Disziplinen finden, wenn man die Philosophie als Wissenschaft der  allgemeinsten Gegenstände  faßt. Wir haben dann eben, um der Eigenart der Philosophie gerecht zu werden, noch diesen fünften Einteilungsgrund nötig: allgemeinste und nichtallgemeinste Gegenstände.

Daß die Metaphysik und die sämtlichen "Vorwissenschaften", die Phänomenologie, Eidologie, Verhältnislehre, damit auch die Erkenntnistheorie, unter diesen Gesichtspunkt fallen, leuchtet ein. Faßt man ferner Ethik, Ästhetik, Logik als praktische Wissenschaften, die zum Guten, Schönen, Wahren leiten, anders gesagt: die im Hinblick auf das Wollen, des Geschmacks, des wissenschaftlichen Urteils das Richtige vom Verkehrten unterscheiden und innerlich verwirklichen lehren, die Pädagogik schließlich als die, welche Kultur in jeder Hinsicht durch eine geregelte Einwirkung auf Individuen erzeugen lehrt, so wird ihre Aufnahme in den Kreis der Philosophie gleichfalls gerechtfertigt sein. Die der Pädagogik zumindest insofern, als sie ihren Begriffen die größte Verallgemeinerung gibt, ihre Gegenstände unter dem höchsten Standpunkt auffaßt. Daß im übrigen diese Disziplinen die in der spezifisch-menschlichen Organisation gelegenen Bedingungen, ja die besonderen Verhältnisse der Nationen und Zeiten zu berücksichtigen, daß sie immer mehr in die typischen Unterschiede kleinerer Gruppen einzudringen haben, je fruchtbarer sie werden wollen, liegt in ihrer Natur als praktischer Disziplinen; es hindert nicht ihre Zuordnung zur Philosophie, gemäß dem Seite 84 erwähnten Prinzip der Zuordnung praktischer zu theoretischen Fächern. Ohne Zweifel stehen diese Untersuchungen eben doch mit der allgemeinsten Wertlehre in einer unmittelbareren und essentielleren Verbindung als alle sonstigen praktischen Disziplinen. Sie gehen zurück auf das, was uns einzig als  unmittelbar  wertvoll erscheint, und suchen gerade dies seiner Verwirklichung entgegenzuführen.

Besteht nun hierüber wenig Meinungsverschiedenheit, so ist umso mehr eine solche bezüglich der  Psychologie  entstanden, die sich für die ganze moderne Wissenschaftslehre als ein etwas unbequemes Fach erweist und uns dann auch bereits mehrere Male beschäftigen mußte. Sie soll nach einigen nicht mehr zur Philosophie gehören.  Den  Grund freilich, daß Philosophie ausschließlich von Werten handelt, nicht von Tatsachen und nicht von Gesetzen seiender Dinge oder geschehender Vorgänge, können wir von vornherein nicht gelten lassen, da wir die Aufgaben der Philosophie in Übereinstimmung mit ihrer gesamten Vergangenheit als universalere fassen. Die Einführung des Experiments ferner, die uns nicht als Hindernis erschien, Psychologie den Geisteswissenschaften zuzurechnen, würde ebensowenig ein Hindernis bilden, sie als philosophische Wissenschaft in Anspruch zu nehmen. Denn warum sollte nicht auch Philosophie das Experiment zu Hilfe nehmen, wo sie es gebrauchen kann? Es wäre überdies nicht das erstemal.

So bleibt nur  ein  Motiv der Lostrennung, dem man eine gewisse Berechtigung nicht absprechen kann: der Gegenstand der Psychologie scheint nicht die erforderliche Allgemeinheit zu besitzen, da sie nur die Struktur- und Entstehungsgesetze seelischer Funktionen untersucht, wie Mineralogie die der Gesteine. Ganz so speziell ist nun zwar ihr Objekt nicht; denn die Strukturgesetze zumindest, die sie aufzuzeigen sucht, haben in der psychischen Sphäre als letzte mögliche Verallgemeinerungen zu gelten, wie die der Physik in der physischen. Immerhin, auch die Physik ist gegenüber der Metaphysik die speziellere Disziplin, und so kann es zunächst als das Richtige erscheinen, die Psychologie als ein nur relativ allgemeinstes Fach der Physik zu koordinieren, sie aber der Metaphysik und den eigentlich philosophischen Disziplinen zu subordinieren.

Genauer besehen ist jedoch das Verhältnis der Psychologie zur Metaphysik oder allgemeinen Weltanschauung ein engeres, essentielleres als das der Physik. Man braucht nur an die heutigen Systeme des Voluntarismus, Panpsychismus, die Philosophie des Unbewußten, Die Ich- oder die Persönlichkeitsphilosophie und dergleichen immer wieder auftauchende Weltanschauungsversuche zu denken, um einzusehen, daß es sich hier nicht um eine zufällige, seltsamerweise Jahrtausende überdauernde Arbeitsgemeinschaft oder Personalunion zwischen Psychologen und Metaphysikern handelt, sondern daß ihre Probleme, also die Wissenschaften als solche, heute wie immer auf das Engste zusammenhängen. Und wie? Die Pädagogen wollen Philosophen heißen, es aber den Psychologen verwehren, die doch allein von HERBARTs Tagen an diesem schätzbaren Bündel gutgemeinter Ratschläge einen wissenschaftlicheren Charakter zu geben vermochten? Und nicht Pädagogen allein, auch die übrigen, der Philosophie enger als sie verbündeten Disziplinen, Ästhetik, Ethik, Logik, Rechtsphilosophie, Religions-, Sprach-, Sozialphilosophie usw., sie nähren sich an allen Ecken und Enden von psychologischem Blut. Damit ist nicht gesagt, daß sie nur angewandte Psychologie sind und nicht noch andere, selbständige Quellen und und Erkenntnismittel besitzen. Aber soviel ist gewiß: was alle diese so verschiedenartigen Zweige philosophischer Forschung zusammenhält, ist nicht so sehr Metaphysik oder Erkenntnistheorie, auch nicht so sehr die allgemeinen Wertideen, als gerade die psychologischen Untersuchungen, deren sie samt und sonders in gleich hohem Maß bedürfen. Wie kann man daran denken, dieses Band herauszuziehen und dann noch von "der Philosophie", im Sinn all dieser Fächer, als einer Einheit zu reden?

Unstreitig verlieren sich manche psychologische Studien der Gegenwart, namentlich solche, die nicht der Psychologie im engsten Sinn, sondern der Phänomenologie angehören und die zugleich vorzugsweise experimentelle Behandlung erfahren müssen, derart ins Detail, daß sie die Fühlung mit den allgemeinsten Problemen zu verlieren, ja ihnen ferner zu stehen scheinen (vielleicht auch im Geist ihrer Urheber zuweilen wirklich ferner stehen) als manche chemische, biologische, historische Betrachtung. Aber es ist hier nicht gut möglich, eine bestimmte Grenze zu ziehen. Wenn einzelne Untersuchungen unphilosophisch sind und sein müssen, so ist es doch nicht die psychologische Wissenschaft als solche und als Ganzes (25).

Geht aus diesen Betrachtungen, deren speziellere Durchführung ich hier unterlassen muß, genügend die Unmöglichkeit einer Abtrennung der Psychologie vom Organismus der philosophischen Wissenschaften hervor, so müssen wir eben die Definition der Philosophie so fassen, daß sie ausdrücklich darin eingeschlossen ist. Denn Definitionen sind nicht da, um die Wissenschaften zu kommandieren, sondern haben sich den tatsächlichen Verhältnissen zu fügen. Es scheint mir daher sachgemäß, Philosophie zu definieren als:  Wissenschaft von den allgemeinsten Gesetzen des Psychischen und denen des Wirklichen überhaupt.  Mit dieser Erklärung sind sogleich die beiden theoretischen Grundwissenschaften bezeichnet, die die ganze Mannigfaltigkeit zusammenhalten. Die Zuordnung der praktischen Disziplinen erfolgt nach dem obigen Prinzip. Die Definition fließt nicht so unmittelbar, wie die zuerst versuchte, aus dem Unterschied allgemeinster und nichtallgemeinster Gegenstände; aber diese Unterscheidung liegt doch auch hier zugrunde.

Nimmt man an der dualistischen Form Anstoß, so möge man sich erinnern, daß das "und" hier eben nicht eine äußerliche Zusammenfassung, sondern eine innere wesensnotwendige Zusammengehörigkeit bedeutet, und daß Philosophie in  allen  Fällen, wie man sie auch definieren mag (abgesehen von ganz willkürlichen Festsetzungen), doch nur in dem weiteren Sinn eine Einheit bildet, wie wir etwa auch bei der Mathematik oder der Jurisprudenz von  einer  Wissenschaft reden, obgleich auch sie längst in relativ ungleichartige Einzeldisziplinen auseinandergegangen sind. Von einer in diesem weiteren Sinn einheitlichen Wissenschaft muß man nur verlangen, daß die so zusammengefaßten Fächer unter sich enger zusammenhängen als jedes von ihnen mit irgendeinem anderen.

Schließlich darf ja aber das Einzwängen in bestimmte Formeln nicht für wichtiger gelten als die lebendige Wissenschaft selbst. Definitionen wollen nur gleich Titelüberschriften lange sachliche Überlegungen auf einen möglichst kurzen Ausdruck bringen. Bei der Philosophie wird dies immer nur unvollkommen gelingen. Das Leben und Weben der philosophischen Idee, um einmal mit HEGEL zu sprechen, läßt sich viel weniger fest, dauernd, gleichmäßig begrenzen als das wissenschaftliche Forschen auf irgendeinem besonderen Gebiet. Dies zeigt sich nicht bloß an der Stellung der Psychologie, sondern noch an einer anderen Disziplin, die seit HEGEL der Philosophie zugewachsen ist: der Geschichte der Philosophie. Wir pflegen sie jetzt als einen Teil der Philosophie selbst anzusehen, während man die Geschichte der Physik nicht als einen Teil der Physik betrachtet. Ob dies immer so bleiben wird, kann man nicht wissen. Aber es erscheint mir gegenwärtig als sachlich berechtigt. Nun ist die Geschichte der Philosophie wie alle Geschichte, in erster Linie  Tatsachenwissenschaft.  Sind auch gewisse Gesetzmäßigkeiten hier nicht zu verkennen, so beansprucht doch die rein tatsächliche Existenz dieser bestimmten Systeme, ja dieser philosophischen Individuen, ein selbständiges Interesse, und zwar nicht bloß ein historisches, sondern auch ein philosophisches. Die großen Ideen der Vergangenheit müssen von den Lebenden, auch wenn sie dazu im Gegensatz stehen, als Teile ihres philosophischen Selbst aufbewahrt, in ihrem Denken "aufgehoben" sein. Darin möchte ich HEGEL recht geben. Ist nun Philosophie nach der gegebenen Definition eine Gesetzeswissenschaft, und sogar im prägnantesten Sinn, da sie die allgemeinsten Gesetze zu formulieren trachtet, so bedeutet die Aufnahme von Untersuchungen, denen die bloße Feststellung historischer Tatsachen auch schon als ein selbständiges Ziel gilt, ein Durchbrechen jener Definition.

Indessen bemerkten wir ähnliches schon bezüglich der beschreibenden Naturwissenschaften: sie sind ihrer Definition nach Wissenschaften von Strukturgesetzen physischer Gegenstände, dennoch liegt auch Singuläres als solches in ihrem Interessenkreis. Eine Unvollständigkeit in anderer Richtung ergab sich bei der Definition der Geisteswissenschaften als Wissenschaften psychischer Funktionen: dort war sofort hinzuzufügen, daß das Studium von physischen Lebensäußerungen und Lebensbedingungen ganz untrennbar damit verbunden ist. Nirgends, die Mathematik ausgenommen, können Definitionen die Wissenschaftsbereiche vollkommen scharf begrenzen.

Nicht einmal der Wissenschaftsbegriff selbst bildet für die Philosophie eine feste Umzäunung. Damit meine ich nicht, daß sie weniger strengen Anforderungen an Genauigkeit und Begründung als andere Wissenschaften stellen darf. Sie sollte darin im Gegenteil rigoroser als alle verfahren, da die Grundlagen des Erkennens selbst zu ihren Gegenständen gehören und alles Übrige von ihr auf seinen Zusammenhang mit diesen Grundlagen geprüft werden muß. Sondern ich denke an die antike und vornehmlich platonische Auffassung der Philosophie als höchster Lebensform. An dem Punkt, wo die Wissenschaft ihren Abschluß sucht, berührt sich zugleich die rein theoretische Lebenstätigkeit mit der gesamten geistigen Existenz. Wiederum aber: in der Definition braucht dies nicht zu stehen.
LITERATUR: Carl Stumpf, Zur Einteilung der Wissenschaften, Berlin 1907
    Anmerkungen
    1) vgl. HELMHOLTZ, "Über den Ursprung und Sinn der geometrischen Sätze",Wissenschaftliche Abhandlungen II, Seite 648f
    2) NATORP sagt in einem Aufsatz, dem ich in vielen Punkten zustimme ("Zu den logischen Grundlagen der neueren Mathematik", Archiv für systematische Philosophie, Bd. 7, Seite 374): "Denkt man sich ein physikalisches Gesetz, nach welchem jede Verschiebung von Körpern bestimmte Änderungen der Lage- oder Maßbeziehungen der Körper mit sich brächte, so kostet es der reinen Geometrie gar nichts, diese Änderungen stets gleichzeitig wieder in Abrechnung zu bringen ... Die Aussage über eine veränderliche Beziehung setzt die über die unveränderliche logisch voraus." - - - Ähnliches auch bei JOHANNES von KRIES, Über Real- und Beziehungsurteile, Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, Bd. 16, Seite 271f und bei ALOIS RIEHL, HERMANN von HELMHOLTZ in seinem Verhältnis zu KANT (1904), Seite 39. Mit RIEHL und NATORP kann ich nur im Hinblick auf die kantische Raumlehre nicht übereinstimmen. - - - Auch ein mir bei der Korrektur soeben noch zukommender zweiter Artikel von MEINONG, "Über die Stellung der Gegenstandstheorie usw." kommt zu den Endergebnissen, die sich mit dem Obigen berühren oder decken. Allerdings glaube ich nicht, daß die Frage nach dem Parallelenaxiom durch eine bloße Berufung auf die Evidenz erledigt werden kann.
    3) Vgl. "Über den Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit", Sitzungsbericht der Münchener Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-philologische Klasse, 1891, Seite 79f.
    4) WILLIAM KINGDON CLIFFORD bemerkt (Über die Ziele und Werkzeuge des wissenschaftlichen Denkens, Seite 10), die Behauptung, dieses hier sei genau ein Pfund Zucker, könne für den  Mathematiker  (zum Unterschied vom Chemiker) nur folgendes bedeuten: "Angenommen, die Maße des genauen Pfundes sei dargestellt durch eine Länge, sagen wir einen Fuß, abgetragen auf einer bestimmten Linie, so daß ein halbes Pfund durch 6 Zoll usw. dargestellt sein würde; dann mag die Differenz zwischen der Masse des Zuckers und der des genauen Pfundes in demselben Maßstab auf derselben Linie abgetragen werden: würde man nun diese Differenz unendlich vielmal vergrößeren, so würde sie noch immer unsichtbar bleiben." Der Mathematiker hingegen hat als solcher mit einem Pfund Zucker schlechterdings nichts zu schaffen. Und wer sieht nicht, daß der Begriff einer Differenz (sei es auch einer unendlich kleinen) zwischen dem Gewicht des Zuckers und dem des genauen Pfundes den Begriff des genauen Pfundes schon voraussetzt, daß man also die empirische mit Hilfe der idealen Genauigkeit definiert? Es ist klar, daß überhaupt in allen Fällen, wo ein "annähernd" irgendeinem Begriff beigesetzt wird, der Begriff, dessen Anwendung durch dieses Epitheton [Zusatz - wp] eingeschränkt werden soll, in sich selbst absolut genau genommen werden muß, wenn die Einschränkung einen Sinn haben soll.
    5) F. KLEIN unterscheidet in seinen Vorlesungen über die Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die Geometrie (1902) Präzisionsmathematik und Approximationsmathematik und führt diese Unterscheidung in seiner ganzen Darstellung durch. Aber er denkt selbstverständlich nicht daran, die zweite an die Stelle der ersten zu setzen, bezeichnet vielmehr, ganz den Betrachtungen der vorigen Anmerkung entsprechend, die Präzisionsmathematik als das feste Gerüst, an dem sich die Approximationsmathematik emporrankt, und die letztere nur als eine Angelegenheit der praktischen Anwendungen (Seite 12 - 13).
    6) Wenn man verlangt, daß alle Wissenschaft sich nur mit Realem beschäftigen soll (vgl. Abschnitt V), dann folgt in der Tat, daß die Geometrie der Physik als eine Vorstufe angegliedert werden muß. Sie kann dann nicht als eine selbständige Wissenschaft gelten, da ihr Gegenstand nicht real ist. Daß man sie auch nicht etwa zur Phänomenologie und mit dieser zur Psychologie schlagen kann, werden die sogleich folgenden Betrachtungen zeigen. Es ist aber überhaupt nicht selbstverständlich, daß alle Wissenschaft von realen Gegenständen handelt.
    7) Daß der Zahlbegriff mit der synthetischen Funktion zusammenhängt, scheint mir HUSSERL in seiner "Philosophie der Arithmetik" mit Recht zu behaupten.
    8) Wir mögen wohl aufgrund von Reflexionen die Erscheinung vor und nach der Umstellung als gleich bezeichnen, nachdem wir uns nämlich auf indirektem Weg überzeugt haben, daß der objektive Gegenstand derselben geblieben ist, daß er nach wie vor rechtwinklig ist. Aber die Erscheinungen in sich selbst sind sehr ungleichartig, und ebendaher rührt auch die ungleiche Art, wie sich das Urteil über den Gegenstand bildet. Was wir unmittelbar als rechtwinklig beurteilen, existiert eigentlich nur dann in der Erscheinung, wenn die Winkel durch senkrechte und horizontale Linien gebildet werden.
    9) Hierzu vgl. ERNST MACH, Erkenntnis und Irrtum", Seite 331f:  Der physiologische Raum im Gegensatz zum Metrischen.  Ich würde jedoch nicht so weit gehen, zu sagen, daß der physiologische (phänomenale) Raum überhaupt nicht metrisch, daß er etwas Qualitatives ist. Er läßt in sich selbst doch gewisse, wenn auch nicht mathematisch exakte, quantitative Streckenvergleichungen zu. Es scheint hier MACHs frühere Ansicht nachzuwirken, wonach der Erscheinungsraum nichts anderes wäre als eine Summe von Innervationsempfindungen. Auch darin könnte ich MACH nicht beistimmen, daß er (Seite 370) im begrifflich-metrischen Raum keine Unterschiede der Richtung mehr anerkennt und darum den Richtungsbegriff für geometrische Definitionen als unbrauchbar erklärt. Richtungsunterschiede können ebenso wie Größenunterschiede (bzw. -Verhältnisse) erhalten bleiben, auch wenn die absoluten Richtungen und absoluten Größen des Erscheinungsraums getilgt sind. - - - Man muß sich bei dieser Frage ferner davor hüten, die Unterschiede in den Maßverhältnissen eines objektiven Gegenstandes gegenüber den Maßverhältnissen seiner optischen Erscheinung bereits als Beweis für einen Unterschied des geometrischen (und des aus diesem gebildeten objektiven) Raumes vom Erscheinungsraum anzusehen. Die Verzerrungen der optischen Erscheinungen gegenüber der wirklichen Gestalt des äußeren Gegenstanes bedeuten nicht ohne weiteres eine inhomogene Beschaffenheit des Erscheinungsraumes in sich selbst. - - - Im Fall es auf die Ecke gestellten Quadrates darf man daher auch nicht etwa das Gewicht darauf legen, daß das wirkliche Quadrat jetzt nicht mehr ohne weiteres als ein Quadrat zu erkennen ist, während dies beim Quadrat mit horizontaler Basis der Fall ist. Vielmehr muß der Beweis für die Verschiedenheit des phänomenalen vom geometrisch-physikalischen Raum einzig darauf gestützt werden, daß überhaupt Linien, die das Gesichtsfeld schräg durchschneiden, als Raumempfindungen niemals solche, die es horizontal und vertikal durchschneiden, gleich sind, einerlei von welchen Objekten sie herrühren, von gleichen oder von ungleichen.
    10) Auch Betrachtungen, wie sie MACH über die historische Entstehung geometrischer Sätze und Methoden anstellt (a. a. O. Seite 347f), sind für diese Untersuchungsrichtung lehrreich, obwohl wir im Folgenden nicht die geschichtlichen Entwicklungen selbst, sondern die psychologischen und logischen Prozesse im Auge haben, die sich in jedem der Geometrie Beflissenen aufs Neue abspielen.
    11) Hiermit möchte ich nicht ausschließen, daß es mehrere unabhängige Veränderungsweisen eines bestimmten räumlichen Gebildes geben kann, wie die Veränderung einer Geraden nach Größe und Richtung. Beide Veränderungen fallen doch unter den gemeinschaftlichen Begriff von örtlichen Veränderungen, von Unterschieden des Nebeneinander. Immerhin ist es begreiflich, daß man versucht, den Richtungsbegriff zu eleminieren und mit bloßen Größenunterschieden auszukommen. Die tiefste Wurzel des Streits um die nicht-euklidische Geometrie liegt in der Frage, ob eine solche Elimination des Richtungsbegriffs streng möglich ist oder ob er nicht doch versteckt irgendwo wiedereingeführt wird.
    12) Über die Unendlichkeit der Tonreihe siehe meine "Tonpsychologie I", Seite 178f.
    13) HELMHOLTZ gebraucht in einem seiner populär-wissenschaftlichen Aufsätze, um die Denkbarkeit eines endlichen Raums zu erläutern, das Bild von Wesen, die auf einer Kugeloberfläche lebten und sich bewegten, aber keine Wahrnehmung von irgendetwas außerhal dieser Oberfläche haben. Dieses von Späteren vielfach wiederholte Bild verfehlt aber, scheint mir, seinen Zweck. Denn es folgt nichts daraus über die Beschaffenheit der räumlichen Vorstellungen, die solche Wesen haben würden. Sie könnten gleichwohl die Dinge auf der Kugeloberfläche dreidimensional sehen, und sie könnten euklidisch-gerade Linien sehen. Der Raum, in dem ein Organismus lebt, und der Raum, den er vorstellt, brauchen nicht zusammenzufallen. Sonst wäre ja auch die Meinung nicht möglich, die heute von so vielen geteilt wird, daß unser eigener Anschauungsraum tatsächlich nur zweidimensional ist, während wir in einem dreidimensionalen Raum leben. Das Gleichnis ist übrigens für HELMHOLTZ' Gedankengang entbehrlich. Es handelt sich ihm an dieser Stelle nur darum, daß für die kürzesten Linien auf der Kugeloberfläche andere Gesetze gelten wie für die kürzesten Linien in der Ebene, und daß man auf die größten Kreise der Kugeloberfläche unbegrenzt, aber nichts Unendliche fortschreiten kann. Um dies einzusehen, braucht man sich nicht in die Kugeloberfläche versetzt zu denken. - - - Das Gleichnis wirkte aber insofern nachteilig, als es bei manchen der unklaren Idee Vorschub leistete, als könnten wir am Ende solche Wesen sein, die, während sie von einer Geraden sprechen, Stücke eines größten Kreises meinen, und während sie sich eine ins Unendliche verlaufende Gerade denken, nur eine in sich zurücklaufende Linie zuwege bringen. Dies ist natürlich unsinnig. Es kann vorkommen, daß einer, der gerade zu gehen glaubt, krumm geht; aber nicht, daß ein mathematisches Gebilde etwas anderes ist, als das, was es  ex definitione  sein soll.
    14) Der Ausdruck war insofern nicht ganz glücklich gewählt, als ja von aller Mannigfaltigkeit im gewöhnlichen Wortsinn hier gerade abgesehen werden soll; indessen hat man sich gewöhnt, ihn in der Wortsinn hier gerade abgesehen werden soll; indessen hat man sich gewöhnt, ihn in der Mathematik für eine Vielheit von Elementen zu gebrauchen, die einem gemeinschaftlichen Begriff untergeordnet sind und unter sich Reihen bilden.
    15) Wenn WILLIAM ROWAN HAMILTON die Algebra als Wissenschaft der reinen Zeit bezeichnete, so war ihm die Zeit dabei doch auch nur ein  Bild  dessen, worauf es ihm ankam, nicht der eigentliche Gegenstand selbst. Diesen bildeten die Anordnungsverhältnisse in einem stetigen, eindimensionalen, unendlich (indefinitely) vorwärts und rückwärts, aber nicht seitwärts, sich erstreckenden Gebilde. Die Glieder eines solchen Gebildes lassen sich durch die Punkte einer Linie repräsentieren; und damit hierbei alles Quantitative ferngehalten und nur die Folge beachtet wird, schien ihm das Bild der Zeit nützlich ("I thought that their simple successiveness was better conceived by comparing them with moments of time", Seite 3 der Vorrede der "Lectures on Quaternions", 1853).
    16) Wir unterscheiden "apriorisch" und "deduktiv". Deduktiv ist alles, was aus allgemeinen Prämissen gefolgert wird. Dabei können die Prämissen aber selbst der Erfahrung entstammen, wie bei den Deduktionen der mathematischen Physik. Apriorisch dagegen nennen wir Erkenntnisse, die in keiner Weise auf Erfahrungssätzen ruhen.
    17) LOUIS COUTURAT, La Philosophie des Mathématiques de Kant, Revue de Métaphysique et de Moral, Bd. 12, 1904, Seite 321f. COUTURAT bemerkt auch gelegentlich mit Recht, daß KANT sich keineswegs von dem falschen Psychologismus freigehalten hat, den die Neokritizisten als schlimmsten Fehler anzusehen pflegen (Seite 342f, 355).
    18) Das letztere betont auch KANT in den  Prolegomena  § 2, b)
    19) Die vollständigste Verkennung der Geometrie im Hinblick auf ihr Verhältnis zur Anschauung findet sich bei SCHOPENHAUER. Wie anders spricht bereits DESCARTES in seinem Brief an MERSENNE (Oeuvres ed. COUSIN, Bd. VIII, Seite 529.
    20) Was F. KLEIN in seinen Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie (1893), Seite 354f über die Rolle der Anschauung für das geometrische Denken sagt, scheint mir auch vom philosophischen Standpunkt ganz zutreffend.
    21) Wenn DILTHEY (Sitzungsbericht der Akademie, 1888, Nr. 35) die Pädagogik von der Ethik unabhängig zu machen wünscht, so hat er dabei unter der Ethik eine von allen historischen Elementen abstrahierende Ethik im Auge, die ja auch ihre eigene Aufgabe nicht vollkomen erfüllen würde. Aber jenen teleologischen Zusammenhang des Seelenlebens, "welcher Erhaltung, Glück und Entwicklung der Individuen, Erhaltung und Steigerung der Art und Gattung herbeiführt", legt auch er der Pädagogik zugrunde.
    22) AMPÉRE, Essai sur la philosophie des Sciences, zuerst 1834 - 1843. Tabelle am Schluß.
    23) WILHELM WUNDT, Über die Einteilung der Wissenschaften, Philosophische Studien, Bd. 5, Seite 1f, Tabellen Seite 37, 43, 47, 53.
    24) HUGO MÜNSTERBERG, The Position of Psychology in the System of Knowledge, Harvard Psychological Studies I, Seite 641. Tabelle am Schluß. Ausführlicher begründet MÜNSTERBERG seine Klassifikation in Bd. 1 der Veröffentlichungen des Kongresses in St. Louis: "The scientific Plan of the Congress".
    25) Ich stimme in dieser Auffassung vollkommen mit WUNDT und MÜNSTERBERG überein: siehe des letzteren Rede zur Eröffnung des neuen Psychologischen Instituts der Harvard University, Harvard Psychological Studies II, Seite 33.